nymanmatematico: La notación de Knuth ( Para escribir números muy grandes) Cortesía de Gaussianos

La notación de Knuth

La forma de representar números que vamos a ver fue introducida por Donald Knuth en 1976 y podemos decir que responde a la necesidad de representar ciertos números tremendamente grandes cuya representación en la forma habitual es extremadamente pesada.

Básicamente utiliza la idea comentada antes sobre torres de potencias, pero introduciendo nuevos símbolos para representarlas, ya que los números a los que está enfocada esta notación necesitan de una torre de potencias que se sale de lo admisible en lo que a escritura se refiere. Veamos cómo se hace todo esto.

Todos sabemos que al elevar un número natural (base) a otro (exponente) lo que hacemos es multiplicar la base tantas veces como indica el exponente, es decir:

$\begin{matrix} m^n = & \underbrace{m \cdot \ldots \cdot m} \\ & n \mbox{ veces} \end{matrix}$

Por ejemplo:

$\begin{matrix} 5^3= & \underbrace{5 \cdot 5 \cdot 5} \\ & 3 \mbox{ veces } 5 \end{matrix}$

Bien, pues Knuth introduce un nuevo símbolo para esta potencia con un único exponente:

$m^n= m \uparrow n$

A partir de aquí comienza la generalización. El siguiente paso sería este:

$\begin{matrix} m \uparrow \uparrow n & = {\ ^{n} m} = & \underbrace{m^{m^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^m}}}}}} & = & \underbrace{m \uparrow (m \uparrow(\ldots\uparrow m))} \\ & & n \mbox{ veces } m & & n \mbox{ veces } m \end{matrix}$

Un ejemplo de esto:

$\begin{matrix} 5 \uparrow \uparrow 3 & = {\ ^{3} 5} = & \underbrace{5^{5^5}} & = & \underbrace{5 \uparrow (5 \uparrow 5)} & = & 5^{3125} \approx 1,911012597945478 \cdot 10^{2184} \\ & & 3 \mbox{ veces } 5 & & 3 \mbox{ veces } 5 \end{matrix}$

Fijáos de qué manera tan sencilla hemos escrito un número que tiene la nada despreciable cifra de 154 dígitos.

Vamos a ver unos cuantos ejemplos con el mismo número como base para que se pueda entender de forma más clara cómo van creciendo los resultados con esta doble flecha:

$2 \uparrow \uparrow 2= 2^2=4$
$2 \uparrow \uparrow 3=2^{2^2}=2^4=16$
$2 \uparrow \uparrow 4=2^{2^{2^2}}=2^{16}=65536$
$2 \uparrow \uparrow 5=2^{2^{2^{2^2}}}=2^{65536} \approx 2,003529930406846 \cdot 10^{19728}$

Es decir, al subir una unidad el segundo término lo que hacemos es elevar el primer término al número obtenido antes. Por ello podemos definir esta operación doble flecha por recurrencia de la siguiente forma:

$m \uparrow \uparrow 1=m$
$m \uparrow \uparrow (n+1)=m^{m \uparrow \uparrow n}$

Se puede deducir fácilmente que esta notación doble flecha puede ampliarse, es decir, podemos utilizar más flechas, lo que nos llevará a obtener números cada vez más grandes. Veamos cómo sería la notación triple flecha:

$\begin{matrix} m \uparrow \uparrow \uparrow n = & \underbrace{m\uparrow \uparrow (m \uparrow \uparrow (\ldots \uparrow \uparrow m))} \\ & n \mbox{ veces } m \end{matrix}$

Y, claro está, podemos pasar a cuádruple flecha:

$\begin{matrix} m \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n= & \underbrace{m \uparrow \uparrow \uparrow (m \uparrow \uparrow \uparrow (\ldots \uparrow \uparrow \uparrow m))}\\ & n \mbox{ veces } m \end{matrix}$

Y así sucesivamente. En general, y utilizando el símbolo $\uparrow ^k$ para representar $k$ flechas seguidas, la notación n-flechase definiría de la siguiente manera:

$m \uparrow ^k n= m \uparrow ^{k-1} m \uparrow ^{k-1} m \ldots m \uparrow ^{k-1} m$

donde $m$ aparece $n$ veces.

Vamos a poner un par de ejemplos de la notación triple flecha:

$3 \uparrow \uparrow \uparrow 2=3 \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow 3 \uparrow 3= 3^{3^3}=3^{27}=7625597484987$

Ahora

$\begin{matrix} 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow 3 \uparrow \uparrow 3=3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3) = & \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \ldots \uparrow 3} \\ & 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \mbox{ veces } 3 \end{matrix}$

que da un número de repeticiones del $3$ que se sale del rango del Mathematica (podéis imaginar qué cantidad números $3$ puede tener esta expresión).

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lunes, 11 de enero de 2016

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