Cómo demostrar que π (pi) es irracional

Teorema: $\pi$ es irracional

Demostración

Definimos la siguiente función:

$f(x)=\cfrac{x^n(1-x)^n}{n!}$

Utilizando el binomio de Newton podemos expresar $f(x)$ así:

> $f(x)=\cfrac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k=\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^{n+k}}$

Cuando $r \prec n$ se tiene que $f^{(r)}(0)=0$ (al derivar menos de $n$ veces el término $x^n$ no desaparece del todo) y cuando $r > 2n$ también obtenemos que $f^{(r)}(0)=0$ (ya que la propia función es la función ${0}$ al derivar más veces que su propio grado). Para calcular el resto de las derivadas en ${0}$ tomamos $m=1,2, \ldots ,n-1$ y las calculamos para todo $x$ :

$f^{(n+m)}(x)=\displaystyle{\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cfrac{(n+k)!}{(k-m)!} (-1)^k x^{k-m}}$

Teniendo en cuenta esta expresión vemos fácilmente que $f^{(n+m)}(0)$ es un número entero para $m=1,2, \ldots ,n-1$ .

Por tanto tenemos que $f^{(s)}(0)$ es un número entero $\forall s \in \mathbb{N}$ . Como $f(1-x)=f(x)$ también tenemos que $f^{(s)}(1)$ es un número entero $\forall s \in \mathbb{N}$ .

Después de estos preliminares vamos con la demostración. En realidad vamos a demostrar que $\pi^2$ es irracional, hecho del que se deduce muy fácilmente que $\pi$ es irracional (¿Por qué?). La demostración comienza suponiendo que $\pi^2$ es racional, es decir, $\pi^2= \textstyle{\frac{a}{b}}$ , con $a,b\in\mathbb{Z^+}$ , es decir, enteros positivos. Definimos para cualquier entero positivo $n$ la siguiente función:

$F_n (x)=b^n [\pi^{2n} f(x)-\pi^{2n-2} f^{\prime\prime}(x)+\pi^{2n-4} f^{(4)} (x) - \ldots + (-1^n) f^{(2n)}(x)]$

Al ser $f(0)=f(1)=0$ y $f^{(s)}(0)$ un número entero $\forall s\in\mathbb{N}$ se tiene que $F_n (0)$ y $F_n (1)$ son enteros (los denominadores que aparecerían al sustituir $\pi^2$ por su supuesta expresión como fracción se cancelarían con el término $b^n$ del principio).

Realizamos ahora el siguiente cálculo basado en la función $F_n$ :

$\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=[F^{\prime\prime}_n (x)+ \pi^2 F_n (x)] sen(\pi x)=b^n \pi^{2n+2} f(x) sen(\pi x)$

Sustituyendo $\pi^2$ por $\textstyle{\frac{a}{b}}$ tenemos:

$\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=\pi^2 a^n f(x) sen(\pi x)$

Integrando obtenemos lo siguiente (pasamos $\pi$ dividiendo a la derecha):

$\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx=\left [ \cfrac{F^\prime_n (x) sen(\pi x)}{\pi}-F_n (x) cos(\pi x) \right ]_0^1=F_n(1)+F_n(0)}$

que, como hemos visto antes, es un número entero.

Por otro lado, es sencillo demostrar que para $0 \prec x \prec 1$ se tiene que $\prec f(x) \prec \textstyle{\frac{1}{n!}}$ . Multiplicando a ambos lados por $\pi a^n$ obtenemos:

$0 \prec \pi a^n f(x) \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}$

Multiplicamos por $sen(\pi x)$ y acotamos la parte de la derecha (ya que $sen(x) \prec 1, \forall x\in\mathbb{R}$ ):

$0 \prec \pi a^n f(x) sen(\pi x) \prec \cfrac{\pi a^n sen(\pi x)}{n!} \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}$

Integrando entre ${0}$ y $1$ obtenemos:

$\displaystyle{0 \prec \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}}$

Pero la última fracción es menor que $1$ para $n$ suficientemente grande. Por tanto tenemos lo siguiente:

$\displaystyle{0 \prec \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx \prec 1}$

Pero habíamos visto antes que $\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx}$ era un número entero. Es decir, hemos llegado a un número entero entre ${0}$ y $1$ . Esa es la contradicción.

Por tanto $\pi^2$ es irracional y en consecuencia $\pi$ también lo es.

Un “Casi-Pi” podría definirse como una aproximación de Pi que, posiblemente, uno no esperaría encontrarse. Vamos, una operación que involucra ciertos números y que, de manera más o menos sorprendente, da como resultado una interesante aproximación de nuestro amado número Pi.

Tomo prestado este nombre de este post del blog de Claudio Meller (por cierto, blog muy interesante que os recomiendo visitar). Y aprovecho que he visto dicha entrada para enseñaros un “Casi-Pi” bastante curioso:

$sen \left ( \cfrac{1}{55555555} \right )=3.14159268 \ldots \cdot 10^{-10} \approx \pi \cdot 10^{-10}$

Este valor, multiplicando por $10^{10}$ , nos da una aproximación de $\pi$ con 7 decimales exactos. Lo que decía, bastante curioso, ¿verdad?

Pues la cosa se torna en totalmente intrigante cuando comprobamos que aumentando el número de cincos mejoramos la aproximación. Por ejemplo, para 12 cincos obtenemos lo siguiente:

$sen \left ( \cfrac{1}{555555555555} \right )=3.141592653592 \ldots \cdot 10^{-14}$

El resultado, después de multiplicar por $10^{14}$ , nos ofrece una aproximación de $\pi$ con 10 decimales exactos. Y, por poner otro ejemplo, con 20 cincos se obtiene

$sen \left ( \cfrac{1}{55555555555555555555} \right )=3.141592653589793238494 \ldots \cdot 10^{-22}$

que nos da, después de multiplicar por $10^{22}$ , una aproximación de $\pi$ con 19 decimales correctos.

Y podéis seguir aumentando el número de cincos. Cuantos más pongáis, mejor sería la aproximación que obtendréis(después de multiplicar por cierta potencia de 10).

¿Qué está pasando? ¿Qué tipo de brujería es ésta? Tranquilos, no hay ninguna razón oculta en este tema.¿Casualidad? Como diría aquél, no lo creo. Y, de hecho, no lo es. Todo esto tiene una explicación y, al contrario que cualquier mago que se precie, os voy a desvelar el (sencillo) “truco” que hay escondido aquí.

Para empezar, recordemos que, para valores de $x$ cercanos a cero, se tiene que $sen(x) \approx x$ (hecho que también ha dado para el insulto matemático definitivo)…pero, y esto es muy importante, dicha aproximación se tiene si $x$ está medido en radianes. Si tomamos $x$ medido en grados sexagesimales (los grados de toda la vida), la equivalencia queda así:

$sen(x)\approx \cfrac{\pi}{180} \; x$

Explicado esto, vamos a meternos en el tema. Teniendo en cuenta que

$\cfrac{1}{180}=0.00555 \overline{5}$

podemos relacionar el 180 con un número formado solo por cincos. Por poner algunos ejemplos:

$\cfrac{1}{180} \approx 5555 \cdot 10^{-6}$
$\cfrac{1}{180} \approx 555555 \cdot 10^{-8}$
$\cfrac{1}{180} \approx 55555555 \cdot 10^{-10}$

En general, para $k$ cincos se tiene que

$\cfrac{1}{180} \approx 555 \ldots (k) \ldots 555 \cdot 10^{-k-2}$

Particularizando para $k=8$ , tendríamos que:

$\cfrac{1}{55555555} \approx 180 \cdot 10^{-10}$

Si sustituimos en la expresión anterior del seno en grados, obtenemos el “Casi-Pi” que comentábamos al principio:

$sen \left ( \cfrac{1}{55555555} \right ) \approx \cfrac{\pi}{180} \cdot \cfrac{1}{55555555} \approx \cfrac{\pi}{180} \cdot 180 \cdot 10^{-10} =\pi \cdot 10^{-10}$

Por lo que:

$10^{10} \cdot sen \left ( \cfrac{1}{55555555} \right ) \approx \pi$

Y, como decíamos antes, al aumentar el número de cincos obtenemos cada vez mejores aproximaciones.

Después de explicar todo esto, después de mostrar el “truco”, parece que la cosa no es para tanto. Pero lo que seguro no podréis negar es que la “casualidad” nos proporciona un, cuando menos, curioso resultado, ¿verdad?

Por cierto, ¿qué pensáis sobre la posibilidad de encontrar un “Casi-Pi” ciertamente sorprendente que realmente pueda considerarse una casualidad? ¿Conocéis alguno? Para abrir boca os dejo uno al que, al menos yo, no le encuentro “explicación” (vamos, que parece ser totalmente “casual”):

$(Ln(6))^{{{{(Ln(5))}^{(Ln(4))}}^{(Ln(3))}}^{(Ln(2))}}=3.141577 \ldots$