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sábado, 14 de julio de 2012


Los números sublimes y su relación con unos primos 

Números primos, compuestos, cuadrados, deficientes, abundantes, perfectos…Son muchísimas las formas de llamar a ciertos tipos de números según las propiedades que cumplen. Algunas son muy conocidas y ciertamente intuitivas, como las que acabamos de nombrar (en tipos de números podéis ver muchas más), y otras no son tan populares y, por qué no decirlo, tienen una descripción más bien extraña (como los números de Smith o los números de Lychrel). Éste es el caso del tipo de números que traemos hoy, los números sublimes.

Bueno, ¿y qué características debe tener un número para elevarlo a la categoría de número sublime? Pues un número sublime es un número entero positivo que tiene un número perfecto de divisores (incluyéndolo a él mismo) y tal que la suma de sus divisores (incluyéndolo a él mismo) es también un número perfecto. Recordando que un número perfecto era un número entero positivo tal que la suma de sus divisores (sin incluir al número) es igual al propio número, puede entenderse el porqué de la denominación de número sublime al número entero positivo que sea capaz de ser tan perfecto.
Bien, y ahora la pregunta obligada es la siguiente: ¿hay números sublimes? Claro que sí. De hecho hay uno bastante pequeño y manejable: el 12. Veámoslo:
  • Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Es decir, tiene 6 dividores, y 6 es un número perfecto.
  • Si sumamos estos divisores obtenemos
    1+2+3+4+6+12=28

    y 28 también es un número perfecto.
Vale, ya tenemos un número sublime, al que llamaremos s_1. Pero no se queda ahí la cosa. Os voy a presentar otro número sublime:
6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264
al que llamaremos s_2 y que tiene la nada despreciable cantidad de 76 cifras…
…y ya no se conocen más (A081357 en la OEIS). Vaya, pues menuda gracia, dos números sublimes nada más. Bueno, quizás tengan alguna “gracia” todavía. Veamos cómo se puede descomponer s_1=12:
s_1=12=2^2 \cdot 3=2^{3-1} \cdot (2^2-1)
Uhmmm, ese segundo término me suena…Veamos cómo se descompone s_2:
s_2=2^{127-1} \cdot (2^{61}-1) \cdot (2^{31}-1) \cdot (2^{19}-1) \cdot (2^7-1) \cdot (2^5-1) \cdot (2^3-1)
Ya no hay duda, esto tiene que estar relacionado con los primos de Mersenne.
Pues si, efectivamente. Asumiendo que no existen números perfectos impares (hecho que, siendo posible, no está demostrado), se puede demostrar que existe un número sublime par para cada primo de Mersenne q=2^k-1 tal que k=2^j-1 es otro primo de Mersenne y además k-1 es la suma de exactamente j-1 exponentes de primos de Mersenne. Este número sublime será el producto de 2^{k-1} por primos de Mersenne distintos p_n=2^{a_n}-1 tal que la suma de los a_n sea k.
Los únicos valores conocidos de k para los que tanto q como k son primos de Mersenne son k=3,7,31,127. Veamos qué obtenemos con cada uno de ellos:
  • Con k=3=2^2-1 obtenemos q=2^3-1=7, ambos primos de Mersenne. Ahora, j=2 (el exponente de Mersenne correspondiente a k), de donde k-1=2 y j-1=1, y es evidente que 2 se puede escribir como suma de 1 exponente de un primo de Mersenne, el propio 2. Por tanto aquí tenemos un número sublime, que concretamente es s_1:
    s_1=2^{k-1} \cdot (2^k-1)=2^{3-1} \cdot (2^2-1)=4 \cdot 3=12

  • Con k=7=2^3-1 obtenemos q=2^7-1=127, ambos también primos de Mersenne. En este caso j=3, de donde k-1=6 y j-1=2. Como 6 no se puede expresar como suma de 2 exponentes de primos de Mersenne distintos, en este caso no obtenemos ningún número sublime.

  • Con k=31=2^5-1 obtenemos q=2^{31}-1=2147483647, ambos primos de Mersenne. Aquí j=5, por lo que k-1=30 y j-1=4. Pero 30 no puede escribirse como suma de 4 exponentes de primos de Mersenne distintos, por lo que de aquí tampoco sale ningún número sublime.

  • Y con k=127=2^7-1, obtenemos


    2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727
    ambos también primos de Mersenne. Ahora j=7, de donde k-1=126 y j-1=6. Y ahora sí se cumple la condición que fallaba en los dos casos anteriores, ya que 126 sí se puede escribir como suma de 6 exponentes de primos de Mersenne distintos:
    126=61+31+19+7+5+3
    por lo que de aquí nos sale un nuevo número sublime, que es s_2:
\begin{matrix} s_2=2^{127-1} \cdot (2^{61}-1) \cdot (2^{31}-1) \cdot (2^{19}-1) \cdot (2^7-1) \cdot (2^5-1) \cdot (2^3-1)= \\ =6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264 \end{matrix}
Por otra parte, cabe la posibilidad de que existan números sublimes impares (asumiendo también que no existen número perfectos impares). Para este caso, el desarrollador de todo esto, K. S. Brown (no he podido encontrar información sobre él), da la siguiente condición necesaria:
Para que existan un número sublime impar es necesario encontrar un primo impar q y dos primos de Mersenne m_1=2^j-1 y m_2=2^k-1 tal que
q^{m_1}-1(q-1) \cdot m_2
En el caso de que pudiéramos encontrar estos números primos, tendríamos que expresar k-1 como suma de exactamente j-1 exponentes de primos de Mersenne distintos. Y la verdad es que no parece fácil ni buscar estos primos ni demostrar que es imposible encontrarlos.
Las curiosidades numéricas y las relaciones entre distintos tipos de números en ocasiones parecen interminables…





jueves, 31 de mayo de 2012

GAUSSIANOS

qué distinto pudo ser todo

http://youtu.be/F01aLeErvoU

bruckner

BRUCKNER: GRANDE ENTRE LOS GRANDES

http://youtu.be/csDZDhrAPHs

BRUCKER : GRANDE ENTRE LOS GRANDES

http://youtu.be/N
o3N7m1ST7g
Qué distinto pudo ser todo



http://youtu.be/F01aLeErvoU
Qué distinto pudo ser todo


domingo, 12 de febrero de 2012


Impresionante igualdad numérica

Corto, pero intenso. Impresionante igualdad numérica la que nos traen en Números y algo más:
\begin{matrix} \mbox{Para } n=1,2,3,4,5,6 \mbox{ la siguiente igualdad } \\  \\ 14^n + 16^n + 45^n + 54^n + 73^n + 83^n = 3^n + 5^n + 28^n + 34^n + 65^n + 66^n + 84^n \\  \\ \mbox{es cierta} \end{matrix}

viernes, 6 de enero de 2012

A veces es conveniente pararse por un momento , reflexionar y echar la vista atrás para recordar momentos que ya nunca más volverás a vivir-

ttp://www.youtube.com/watch?v=8UXircX3VdM 

domingo, 6 de noviembre de 2011

LA DÉCIMA DE BEETHOVEN

memoria

ayer tenía mi memoria llena, hoy se ha vaciado, no sé porqué pero me siento liberado, quizás ese sea el método adecuado para alcanzar la felicidad o no eso nunca lo sabré



jueves, 6 de octubre de 2011

Aqui comienza todo, aunque un poco tarde, una elección equivocada y toda una vida que nunca ha sido y ya nunca será

http://www.goear.com/listen/221fd82/para-ti-paraiso

miércoles, 5 de octubre de 2011

He aqui la fotografía del más grande entre los grandes

sábado, 30 de julio de 2011

SCHUBERT

http://open.spotify.com/track/6sYbUCuupRE9SxDyg1NWsl

FRANZ KAFKA

jueves, 28 de julio de 2011

WAGNER

Wagner grande entre los grandes:
Lohengrin :Prelude to act I


spotify:track:2EtSqDOCmxPVnQFyvY3R9H

miércoles, 18 de mayo de 2011

martes, 17 de mayo de 2011

EUCLIDES

EL SIGUIENTE ENLACE NOS TRASLADA A LOS ELEMENTOS

jueves, 12 de mayo de 2011

jueves, 31 de marzo de 2011

jueves, 13 de enero de 2011

Gauss

Hoy quiero mostrar un enlace con un blog matemático muy interesante con retos para todos aquellos que aman las Matemáticas
Asimismo otro enlace , esta vez con EL Requiem de Verdi

jueves, 30 de diciembre de 2010

ejercicios de matematicas

http://platea.pntic.mec.es/~jalonso/mates/ejerbach.html

martes, 30 de noviembre de 2010

El canguro matemático

link de conexión con las pruebas realizadas y todo lo relacionado con el concurso
"canguro matemático"


http://www.canguromat.org.es/index.html

museo virtual

http://www.mystudios.com/artgallery/

jueves, 11 de noviembre de 2010

ROBERT SCHUMAN

Robert Schumann


Nacimiento 8 de junio de 1810
Flagge Königreich Sachsen (1815-1918).svg Zwickau, Reino de Sajonia
Fallecimiento 29 de julio de 1856 (46 años)
Flag of Prussia 1892-1918.svg Endenich, Bonn, Reino de Prusia
Ocupación Pianista, compositor
Cónyuge Clara Wieck
Hijos Marie, Elise, Julie, Emil, Ludwig, Ferdinand, Eugenie, Felix

Robert Alexander Schumann (Zwickau, 8 de junio de 1810 - Endenich, Bonn, 29 de julio de 1856). Compositor alemán de la época del romanticismo y uno de los músicos más famosos en la primera mitad del siglo XIX. Tanto en su vida como en su obra refleja su máxima expresión la naturaleza del romanticismo, siempre envuelta en la pasión, el drama y, finalmente, la alegría. Une la ilustración literaria con una gran complejidad musical, creando obras de gran intensidad lírica.

Infancia y adolescencia

Su nombre completo era Robert Alexander Schumann. Nació en la ciudad alemana de Zwickau, en lo que hoy es el Estado federal de Sajonia. De niño Schumann ya puso de manifiesto sus dotes musicales. Su padre, de profesión editor, le apoyó y le procuró un profesor de piano. A los 7 años Schumann compuso sus primeras piezas musicales.

Así, en esa etapa de su vida no sólo componía obras musicales, sino que también redactaba ensayos y poemas, y de hecho el joven Schumann se identifica tanto con la literatura como con la música. A los 14 años escribe un ensayo sobre la estética de la música. Ya desde que estudiaba en el colegio absorbe la obra de Schiller, Goethe, Lord Byron, así como los dramaturgos de la Grecia Clásica; pero la influencia literaria más poderosa y permanente es sin duda la de Johann Paul Friedrich Richter. Tal influencia puede apreciarse en sus novelas de juventud, "Juniusabende" y "Selene", de las cuales sólo la primera fue concluida (1826).

Su interés por la música había sido estimulado desde niño al escuchar tocar a Ignaz Moscheles en Carlsbad, y en 1827 a través de las obras de Franz Schubert y Felix Mendelssohn.

Su padre, que tanto había fomentado la educación de Robert como pianista y escritor, fallece en 1826; su madre no aprueba la dedicación a la carrera musical y en 1828 le envía a estudiar Derecho a la Universidad de Leipzig. Pero no tardó en abandonar los estudios para consagrase enteramente a la música.
[editar] El abandono de la carrera de concertista
Lugar de nacimiento de Robert Schumann en Zwickau.
Sala de Música de Robert Schumann en Zwickau Museo, Hauptmarkt 5.
Escultura de Robert Schumann.
Robert y Clara Wieck de Schumann.

Hacia 1830, Schumann deseaba por encima de todo convertirse en un virtuoso y admiraba la ejecución de los más renombrados concertistas de su época, como el celebérrimo violinista Niccolò Paganini, a quien escuchó en Fráncfort del Meno en la Semana Santa de 1830, y al también celebérrimo pianista Franz Liszt. Por tanto, el joven Schumann, de innegable talento como pianista, se empleó a fondo en perfeccionar su técnica de teclado, hasta que una grave lesión en su mano derecha le obligaría a abandonar este camino y convertirse finalmente en uno de los más reconocidos compositores de su siglo.

Entre sus amigos se encontraba Friedrich Wieck (padre de Clara, su futura esposa), notable pedagogo musical, que le dio lecciones. Después de abandonar a Wieck prosiguió solo estudiando piano. Existen varias fuentes que difieren respecto a cómo dañó Schumann su mano derecha en 1830, siendo la más popular la de que para fortalecer el dedo anular ideó un aparato que de hecho lo inutilizó casi completamente (la musculatura del dedo anular está conectada al dedo corazón, convirtiéndolo en el dedo más débil). Otras fuentes citan una cirugía fallida, y otras los efectos secundarios de la medicación a base del tóxico mercurio para la sífilis. De cualquier modo, las esperanzas de Robert Schumann de emular a los virtuosos, o tan siquiera de llegar a destacar como concertista, se desvanecieron.

Desde su adolescencia Schumann había compaginado sus diversas actividades y estudios con la composición y ya había creado obras importantes, sobre todo para piano, pero también sinfónicas y de cámara. Desde ese momento se entrega con pasión a la composición, comienza a estudiar teoría con Heinrich Dorn, director de la ópera de Leipzig, y considera la posibilidad de escribir una ópera sobre Hamlet.
[editar] Compositor y crítico

En paralelo a su nueva actividad como compositor, iniciaba su obra de crítico musical, que generó una abundante producción literaria. Su excepcional formación y aptitud literaria se plasmaban en críticas musicales, en las que, a través de personajes imaginarios, profundizaba en las obras de sus contemporáneos. Un famoso ejemplo es su ensayo sobre las variaciones de Chopin sobre un tema de Don Juan, que apareció en el Allgemeine musikalische Zeitung en 1831.

Su Opus 2 Papillons (Fr., "Mariposas") escrito en 1831 es otro ejemplo excepcional de la fusión entre literatura y composición musical de Schumann. Se trata de una composición para piano, que consta de varias escenas de danza inspiradas en una fiesta de disfraces. Cada danza trata de retratar a diferentes personajes y no guardan relación entre sí, excepto la última. Según escribiría el propio Schumann, está inspirada en la última escena de la obra Flegeljahre de Johann Paul Friedrich Richter y mezcla el carácter festivo con un extraordinario sentimiento melancólico.

La muerte en 1833 de su cuñada Rosalie y de su hermano Julius le causaron una crisis nerviosa. Las crisis, depresiones, periodos de reclusión completa etc. fueron frecuentes en la vida de Schumann y se acentuaron a partir de 1834, continuando en aumento hasta su muerte (incluso llegando a escuchar voces y experimentar alucinaciones). Este declive psíquico se relacionó inicialmente por los historiadores del siglo XIX con la sífilis (o con el desastroso tratamiento médico a base de mercurio, habitual en la época y casi peor que la enfermedad en sí), pero la posibilidad ha sido descartada debido a que los síntomas de desequilibrio mental de Robert Schumann ya eran evidentes desde su juventud, antes de que cualquier síntoma de la sífilis pudiera haberse manifestado. La teoría más aceptada actualmente es que padecía de trastorno bipolar (enfermedad maníaco-depresiva). Pero la gran intensidad creativa de Schumann se concentraba en sus periodos de lucidez, de forma admirable. Tan pronto como se restablecía de un período de enfermedad, se entregaba frenéticamente a la composición, trabajando de modo incansable. No sólo escribía las melodías principales ni se limitaba a las obras para piano, sino que pese a estar en un estado físico y mental muy degradado, escribía la instrumentación sinfónica completa de todas sus obras, hasta la extenuación.

Tras recobrarse de esta crisis, en 1834 fundaría la revista Neue Leipziger Zeitschrift für Musik, abanderada de las nuevas corrientes musicales defendidas por La Cofradía de David, que dirigió hasta el fin de su vida. Es en esta publicación donde da rienda suelta a su crítica musical, considerada en aquella época como excéntrica, pero que hoy día etiquetaríamos como visionaria. A principios del siglo XIX, compositores como Wolfgang Amadeus Mozart, Ludwig van Beethoven y Carl Maria von Weber eran vistos como figuras menores[cita requerida], por lo que se consideró una excentricidad que Schumann los elevara como grandes compositores, por no hablar de su aprecio a figuras contemporáneas, como Chopin o Héctor Berlioz. En esta nueva publicación, hizo todo esto y mucho más.

En el verano de 1834 se enamora de Ernestine von Fricken, una chica de 16 años con quien mantendría una breve relación que él mismo rompería al acabar el año. Es durante este flirteo cuando compone su obra más aclamada, Op. 9, Carnaval. Se trata de variaciones sobre las notas que componen la palabra Asch (pueblo natal de Ernestine) en la notación musical alemana. También son las letras con alguna nota equivalente en el propio apellido de Schumann. Cada variación comienza con esas notas y, más que nunca, Schumann emplea para la composición la ilustración musical de una historia, con personajes y guión bien definidos. Además consolida el formato de composición que ya inició en Papillons, creando temas muy breves y generalmente no relacionados entre sí, aunque estén inspirados en la misma escena literaria. La mayoría de las composiciones para piano de Schumann están formadas por movimientos que duran pocos minutos, o incluso menos de un minuto.

Conoció personalmente a Mendelssohn en casa de Friedrich Wieck en el año 1835 y le mostró su admiración; poco después conocería a Chopin. Durante toda su vida Schumann mostró hacia sus compañeros músicos una amistad sincera y una actitud de crítica constructiva, libre de rivalidades, algo poco frecuente en un crítico musical que también es compositor. Esta actitud abierta y generosa le permitió ser el "descubridor" de Johannes Brahms cuando éste sólo era un joven y desconocido pianista de 20 años. Brahms se convirtió en íntimo amigo de Schumann (y de su esposa Clara Wieck, especialmente en los años en los que la enfermedad de Schumann se agravó) y se vio claramente influido por su música.
[editar] Matrimonio con Clara Wieck

Es en casa de Wieck, su antiguo maestro, donde conoce a su futura esposa. Se trata de Clara Wieck, su hija, y ya para entonces afamada pianista que había sido "niña prodigio", bastante famosa internacionalmente en aquella época, y de hecho se la considera la pianista más importante del siglo XIX. En 1836 inician una relación amorosa en secreto, fundamentalmente por carta, seguramente debido a la diferencia de edad entre ambos (Clara sólo tenía 16 años) y también porque Clara se encontraba de viaje constantemente, actuando por toda Europa. Es durante esta relación clandestina cuando escribe Escenas de niños, tal y como le relata por carta a la propia Clara. Un año más tarde Robert pide la mano de Clara a su padre, pero éste se niega. Finalmente se casan en 1839, para lo que deben recurrir a los tribunales al no tener la aprobación de Friedrich Wieck. Permanecieron juntos hasta la muerte de Robert y tuvieron ocho hijos.

Clara era una pianista excepcional y tuvo una gran influencia musical sobre Robert. Ella le instó a no limitarse a la composición para piano (en estos años escribe Lieder y Álbum para la juventud), recomendándole que se dedicara a la composición para orquesta y se consolidara así como un gran compositor de su tiempo. Es precisamente a partir de 1841 cuando compone oberturas sinfónicas y conciertos, en los que, sin embargo, el piano sigue teniendo un papel principal.

El Conservatorio de Leipzig le abrió las puertas en 1843 y fue nombrado profesor de piano y composición.
[editar] Los últimos años de Schumann

En 1844, tras un viaje a Rusia, atravesó un nuevo periodo depresivo y abandonó Leipzig para instalarse en Dresde. Durante los años siguientes su salud mental y física se iba debilitando, lo cual no le impidió trabajar en multitud de obras, como sus dos Sonatas para piano y violín, su Concierto para violonchelo y orquesta y su única ópera, Genoveva (que no gozó de éxito). Incluso cuando, a partir de 1852, sus episodios de locura le mantienen convaleciente casi todo el tiempo, consigue aprovechar sus momentos de lucidez para completar su Misa, Requiem, Sinfonía en Re menor y Concierto para violín y orquesta. También destaca la presentación en 1846 de su Concierto para piano y orquesta en la menor, ejecutado brillantemente por su esposa, Clara, en 1846 en Leipzig, lo cual conllevó a su autor una fama aún mayor y más consolidada para la Historia.

Poco después le comenta a su hermano su deseo de suicidarse, ya que estaba angustiado por la epidemia de cólera que asolaba Europa por esas fechas, el 27 de febrero de 1854, Schumann se arroja al Rin y es rescatado a tiempo, pero su mente ya se ha perdido para siempre. Es internado en un sanatorio privado en Endenich cerca de Bonn, Alemania, donde permanece hasta su muerte el 29 de julio de 1856. Tenía sólo 46 años. Muere víctima de un colapso neurocirculatorio (aunque según otras fuentes falleció debido a la sífilis). Fue enterrado en el cementerio viejo de Bonn, y en 1880 se erigió sobre su tumba una estatua de A. Donndorf.

Tras su muerte, Clara se entregó a dar a conocer por toda Europa la obra de Robert, dándole gran fama tras varias décadas de giras. Clara, fallecida en 1896, se halla enterrada en la misma tumba que Robert.

jueves, 4 de noviembre de 2010

arvo part

el descubrimiento de un nuevo genio

jueves, 2 de septiembre de 2010

jueves, 27 de mayo de 2010

CONCIERTOS EN EL AUDITORIO DE ZARAGOZA

Con el deseo de abrir una especie de diario de los diferentes conciertos a los que acudo inicio el mismo recordando el penúltimo de los conciertos de primavera:
Martes 25 de mayo de 2010
Staatskapelle y Ordeón donostiarra
Director Leopold Hager
Programa: Sinfonía nº 1 en Re,D.28 de Schubert
Sinfonía nº 2 en si bemol Op. 52 de Mendelssohn
Bajo mi punto de vista primera parte con falta de intensidad aunque bien interpretada, la 2º parte mucho mejor la incorporación y el trabajo del Orfeón donostiarra inconmensurable. Calificación Notable alto.

miércoles, 24 de marzo de 2010

astronomia


BRAHMS


Este blog
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sábado 9 de enero de 2010

BRAHMS - CUARTETO OP. 25 - EN TRES FORMAS



Brahms: Cuarteto con piano en sol menor Op. 25
Guarneri Quartet, Artur Rubinstein, piano.

1. Allegro
[13' 03'']


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2. Intermezzo. Allegro ma non troppo. Trio. Animato
[8' 19'']


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3. Andante con moto. Animato
[9' 09'']


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4. Rondó alla zingarese
[7' 54 '']


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Orquestado por Arnold Schoenberg
Wiener Philharmoniker. Christoph von Dohnanyi, dir.

1. Allegro
[12' 10'']


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2. Intermezzo. Allegro ma non troppo. Trio. Animato
[8' 11'']


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3. Andante con moto. Animato
[11' 00'']


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4. Rondó alla zingarese
[9' 03'']


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Arreglo para piano a cuatro manos (de Brahms)
S.-T. Matthies, Ch. Köhn


1. Allegro
[14' 44'']


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2. Intermezzo. Allegro ma non troppo. Trio. Animato
[8' 30'']


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3. Andante con moto. Animato
[10' 07'']


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4. Rondó alla zingarese
[8' 55'']


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