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Los números sublimes y su relación con unos primos

Números primos, compuestos, cuadrados, deficientes, abundantes, perfectos…Son muchísimas las formas de llamar a ciertos tipos de números según las propiedades que cumplen. Algunas son muy conocidas y ciertamente intuitivas, como las que acabamos de nombrar (en tipos de números podéis ver muchas más), y otras no son tan populares y, por qué no decirlo, tienen una descripción más bien extraña (como los números de Smith o los números de Lychrel). Éste es el caso del tipo de números que traemos hoy, los números sublimes.

Bueno, ¿y qué características debe tener un número para elevarlo a la categoría de número sublime? Pues un número sublime es un número entero positivo que tiene un número perfecto de divisores (incluyéndolo a él mismo) y tal que la suma de sus divisores (incluyéndolo a él mismo) es también un número perfecto. Recordando que un número perfecto era un número entero positivo tal que la suma de sus divisores (sin incluir al número) es igual al propio número, puede entenderse el porqué de la denominación de número sublime al número entero positivo que sea capaz de ser tan perfecto.
Bien, y ahora la pregunta obligada es la siguiente: ¿hay números sublimes? Claro que sí. De hecho hay uno bastante pequeño y manejable: el 12. Veámoslo:

Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Es decir, tiene 6 dividores, y 6 es un número perfecto.
Si sumamos estos divisores obtenemos
1+2+3+4+6+12=28
y 28 también es un número perfecto.

Vale, ya tenemos un número sublime, al que llamaremos $s_1$ . Pero no se queda ahí la cosa. Os voy a presentar otro número sublime:

$6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264$

al que llamaremos $s_2$ y que tiene la nada despreciable cantidad de 76 cifras…
…y ya no se conocen más (A081357 en la OEIS). Vaya, pues menuda gracia, dos números sublimes nada más. Bueno, quizás tengan alguna “gracia” todavía. Veamos cómo se puede descomponer $s_1=12$ :

$s_1=12=2^2 \cdot 3=2^{3-1} \cdot (2^2-1)$

Uhmmm, ese segundo término me suena…Veamos cómo se descompone $s_2$ :

$s_2=2^{127-1} \cdot (2^{61}-1) \cdot (2^{31}-1) \cdot (2^{19}-1) \cdot (2^7-1) \cdot (2^5-1) \cdot (2^3-1)$

Ya no hay duda, esto tiene que estar relacionado con los primos de Mersenne.
Pues si, efectivamente. Asumiendo que no existen números perfectos impares (hecho que, siendo posible, no está demostrado), se puede demostrar que existe un número sublime par para cada primo de Mersenne $q=2^k-1$ tal que $k=2^j-1$ es otro primo de Mersenne y además $k-1$ es la suma de exactamente $j-1$ exponentes de primos de Mersenne. Este número sublime será el producto de $2^{k-1}$ por primos de Mersenne distintos $p_n=2^{a_n}-1$ tal que la suma de los $a_n$ sea $k$ .
Los únicos valores conocidos de $k$ para los que tanto $q$ como $k$ son primos de Mersenne son $k=3,7,31,127$ . Veamos qué obtenemos con cada uno de ellos:

Con $k=3=2^2-1$ obtenemos $q=2^3-1=7$ , ambos primos de Mersenne. Ahora, $j=2$ (el exponente de Mersenne correspondiente a $k$ ), de donde $k-1=2$ y $j-1=1,$ y es evidente que 2 se puede escribir como suma de 1 exponente de un primo de Mersenne, el propio 2. Por tanto aquí tenemos un número sublime, que concretamente es $s_1$ :
$s_1=2^{k-1} \cdot (2^k-1)=2^{3-1} \cdot (2^2-1)=4 \cdot 3=12$

Con $k=7=2^3-1$ obtenemos $q=2^7-1=127$ , ambos también primos de Mersenne. En este caso $j=3$ , de donde $k-1=6$ y $j-1=2$ . Como 6 no se puede expresar como suma de 2 exponentes de primos de Mersenne distintos, en este caso no obtenemos ningún número sublime.

Con $k=31=2^5-1$ obtenemos $q=2^{31}-1=2147483647$ , ambos primos de Mersenne. Aquí $j=5$ , por lo que $k-1=30$ y $j-1=4$ . Pero 30 no puede escribirse como suma de 4 exponentes de primos de Mersenne distintos, por lo que de aquí tampoco sale ningún número sublime.

Y con $k=127=2^7-1$ , obtenemos

$2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727$
ambos también primos de Mersenne. Ahora $j=7$ , de donde $k-1=126$ y $j-1=6$ . Y ahora sí se cumple la condición que fallaba en los dos casos anteriores, ya que 126 sí se puede escribir como suma de 6 exponentes de primos de Mersenne distintos:

$126=61+31+19+7+5+3$
por lo que de aquí nos sale un nuevo número sublime, que es $s_2$ :

$\begin{matrix} s_2=2^{127-1} \cdot (2^{61}-1) \cdot (2^{31}-1) \cdot (2^{19}-1) \cdot (2^7-1) \cdot (2^5-1) \cdot (2^3-1)= \\ =6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264 \end{matrix}$

Por otra parte, cabe la posibilidad de que existan números sublimes impares (asumiendo también que no existen número perfectos impares). Para este caso, el desarrollador de todo esto, K. S. Brown (no he podido encontrar información sobre él), da la siguiente condición necesaria:

Para que existan un número sublime impar es necesario encontrar un primo impar $q$ y dos primos de Mersenne $m_1=2^j-1$ y $m_2=2^k-1$ tal que

$q^{m_1}-1(q-1) \cdot m_2$

En el caso de que pudiéramos encontrar estos números primos, tendríamos que expresar $k-1$ como suma de exactamente $j-1$ exponentes de primos de Mersenne distintos. Y la verdad es que no parece fácil ni buscar estos primos ni demostrar que es imposible encontrarlos.
Las curiosidades numéricas y las relaciones entre distintos tipos de números en ocasiones parecen interminables…

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sábado, 14 de julio de 2012

Los números sublimes y su relación con unos primos

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