nymanmatematico: La demostración del presidente ( del Teorema de Pitágoras )

James Garfield y su demostración del teorema de Pitagoras.

James Abram Garfield (1831-1881) fue el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Fue elegido presidente en marzo de 1881, pero en septiembre del mismo año falleció a causa de las heridas provocadas por unos disparos que había recibido un par de meses antes.

Garfield tenía una formación académica bastante completa, además de ser matemático aficionado. A tanto llegó su afición por las matemáticas que encontró una bella, a la par que sencilla, demostración del teorema de Pitagoras, que llegó a ser publicada en ell New England Journal of Education, y que vamos a comentar en lo que sigue.

Partimos de un triángulo rectángulo con catetos de longitud $a,b$ e hipotenusa de longitud $h$ , como el que puede verse en la figura siguiente:

Tomamos una copia de este triángulo y lo colocamos con el vértice que en la imagen aparece arriba coincidiendo con el vértice que en la imagen aparece abajo a la derecha de forma que los catetos inferiores de los dos triángulos queden alineados, como se ve a continuación

Es claro entonces que el ángulo que forman las hipotenusas de los dos triángulos es un ángulo recto. Unimos ahora los dos vértices “superiores” de los dos triángulos, obteniendo así un trapecio:

Ahora vamos a calcular el área de dicho trapecio de dos formas: directamente con la fórmula habitual y como suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos en los que está dividido:

Con la fórmula habitual
El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura. En este caso las bases miden $a$ y $b$ , y la altura mide $a+b$ . Por tanto, el área $A$ del trapecio es:

$A=\cfrac{a+b}{2} \cdot (a+b)=\cfrac{(a+b)^2}{2}$
Como suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos
El trapecio puede verse como la unión de tres triángulos rectángulos: el inicial dos veces y otro (el de fondo blanco), también rectángulo, cuyos catetos son ambos $h$ y cuya hipotenusa es el último segmento que habíamos añadido. El área $A$ del trapecio queda entonces así:

$A=\cfrac{a \cdot b}{2}+\cfrac{a \cdot b}{2}+\cfrac{h \cdot h}{2}=ab+\cfrac{h^2}{2}$

Ahora igualamos los dos resultados que hemos obtenido para el área y operamos:

$\begin{matrix} \cfrac{(a+b)^2}{2}=ab+\cfrac{h^2}{2} \\ \\ (a+b)^2=2ab+h^2 \\ \\ a^2+2ab+b^2=2ab+h^2 \end{matrix}$

Y restando $2ab$ en ambos términos obtenemos lo buscado, el teorema de Pitagoras:

$a^2+b^2=h^2$

Como decíamos antes, sencilla y bella demostración de uno de los teoremas más conocidos de las matemáticas, que además pasa por ser, posiblemente, el teorema del que se conocen más demostraciones distintas (cerca de 400)