Cómo generar conjuntos CuCu

Introducción

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos $\{ a_1, \ldots a_k \}$ que cumplen que:

$a_1^3+ \ldots + a_k^3=(a_1+ \ldots + a_k)^2$

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto $\{1, 2, \ldots , n \}$ , para cualquier $n \in \mathbb{N}$ . Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

$1^3+2^3+ \ldots + n^3=(1+2+ \ldots +n)^2$

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para $n=1$ :

$1^3=1^2$

Supongamos ahora que es cierto para $n$ , es decir, que

$(1+2+ \ldots +n)^2=1^3+2^3+ \ldots + n^3$

y demostremos que la igualdad es cierta para $n+1$ . Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso $n$ (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

$(1+2+ \ldots +n+(n+1))^2=$

Tomamos como primer término $1+2+\ldots +n$ y como segundo término $n+1$ y desarrollamos el cuadrado de la suma:

$=(1+2+ \ldots +n)^2+(n+1)^2+2(1+2+ \ldots+n)(n+1)=$

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que $1+2+\ldots+n=\cfrac{n(n+1)}{2}$ en la segunda:

$=1^3+2^3+ \ldots +n^3+(n+1)^2+2 \cdot \cfrac{n(n+1)}{2} \cdot (n+1)=$

Operando ahora el último sumando obtenemos $n(n+1)^2$ y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos $(n+1)^3$ , llegando entonces a la igualdad buscada. $\Box$