La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

El concepto de infinito es un concepto complicado de entender (de hecho no sé si alguien es capaz de comprenderlo a la perfección), como ya hemos comentado en una gran cantidad de ocasiones. Pero si es complicado ahora, mucho más lo era en el siglo XIX, cuando Georg Cantor realizó sus importantes estudios sobre los cardinales infinitos y dejó la famosa conjetura denominada hipótesis del continuo.

El matemático ruso Georg Cantor es conocido por ser uno de los pioneros de la teoría de conjuntos moderna, y por demostrar, mediante su conocido método diagonal, que el conjunto de los números naturales, $\mathbb{N}$ , y el de los números reales, $\mathbb{R}$ , no tienen la misma cantidad de elementos, aun siendo los dos conjuntos infinitos. Estos hechos causaron un gran revuelo en las matemáticas de la época, y todavía hoy siguen sorprendiendo a todo el que se encuentra con ellos por primera vez.

Cantor llamó aleph-0, $\aleph_0$ , al cardinal del conjunto de los números naturales (recordemos que cardinal es algo así como cantidad de elementos), el conjunto infinito más pequeño. Por otra parte, demostró que si tomamos todos los subconjuntos de un cierto conjunto A, entonces el conjunto formado por dichos subconjuntos, denominado partes de A, $\mathcal{P} (A)$ , tiene cardinal mayor que el propio A. Recordando que $|A|$ representa el cardinal de A, se tiene entonces que:

$|A| < |\mathcal{P} (A)|$

Trasladando esto a los números naturales tenemos entonces que

$|\mathbb{N}| < |\mathcal{P} (\mathbb{N})|$

Es decir:

$\aleph_0 < |\mathcal{P} (\mathbb{N})|$

Definiendo $\aleph_1$ como el menor cardinal infinito mayor que $\aleph_0$ , y aplicando el mismo razonamiento, obtenemos una cadena de desigualdades estrictas entre estos cardinales de conjuntos infinitos, estos alephs, que se denominan números transfinitos:

$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots$

Volvamos al principio de esta entrada. Allí comentamos algo sobre la relación entre el cardinal de los números naturales, $\aleph_0$ , y el de los números reales, que es…¿Cuál es? En principio Cantor sabía que era superior a $\aleph_0$ , nada más. Lo llamó $c$ , por lo de continuo (los números reales llenan la recta real, forman una sucesión continua de números). Y lo que ha pasado a la historia con la denominación de hipótesis del continuo es el siguiente enunciado:

No hay ningún cardinal infinito mayor que $\aleph_0$ y menor que $c$ .

Dado que el cardinal de los números reales, $c$ , es igual a $2^{\aleph_0}$ , la hipótesis del continuo se reduce a la siguiente igualdad:

La hipótesis del continuo afirma que:

$2^{\aleph_0}=\aleph_1$

Es decir, que el cardinal de los números reales es el número transfinito $\aleph_1$ , el inmediatamente superior al cardinal de los números naturales. Vamos, que no hay ningún infinito entre los naturales y los reales.

Evidente, ¿verdad? Pues no, ni mucho menos era evidente. Y una prueba más que significativa de ello es que David Hilbert incluyó la hipótesis del continuo en su célebre lista de 23 problemas que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) del año 1900. Y no solamente lo incluyó, sino que lo colocó en el primer lugar de su lista. Por tanto de evidente nada, y de importante mucho.

Y fue precisamente en otro ICM en el que la hipótesis del continuo fue auténtica protagonista. El 10 de agosto de 1904, dentro del ICM que se estaba celebrando en la ciudad alemana de Heidelberg, el matemático ruso Julius König impartió, con Hilbert y Cantor presentes, una conferencia en la demostró que la hipótesis del continuo era falsa. Cantor había realizado grandes esfuerzos para demostrar este resultado, pero no llegó a conseguirlo.

Efectivamente, el interés que había suscitado la intervención de König estaba plenamente justificado. En la discusión posterior a la conferencia, el propio Cantor agradeció públicamente a Dios haberle permitido vivir para ver la refutación de su error…pero el susto le duró poco a Cantor: unas semanas después se descubría que la demostración contenía un error (lo descubrió Zermelo), por lo que la hipótesis del continuo continuaba sin demostración. Y así siguió hasta la muerte de Cantor…

…y seguirá para siempre.

– ¿Cómo? ¿Para siempre?

Sí, para siempre.

– ¿Y se puede saber por qué estás tan seguro de ello?

Sí, claro que se puede saber: porque la hipótesis del continuo es indemostrable.

– ¿Einnn?

Lo que habéis leído: indemostrable. Indemostrable en el sistema de axiomas Zermelo-Fraenkel-Axioma de Elección (Zermelo-Fraenkel-Choice, ZFC) de la teoría de conjuntos. Veamos por qué.

En 1940 Kurt Gödel demostró que la hipótesis del continuo no puede ser refutada en el sistema ZFC. Para ello, Gödel añadió la propia hipótesis del continuo como axioma a los de ZFC y demostró que se obtenía un sistema consistente. Por otra parte, Paul Cohen demostró en 1963 que la hipótesis del continuo no puede ser demostrada en ZFC añadiendo el contrario de la hipótesis del continuo a ZFC y demostrando, como Gödel, que el sistema de axiomas que se obtenía era de nuevo consistente.

La prueba de Cohen cerraba el círculo: la hipótesis del continuo no se puede ni demostrar ni refutar dentro del sistema axiomático que está aceptado como el que gobierna la teoría de conjuntos, que es ZFC. Es decir, la hipótesis del continuo es independiente de ZFC, lo que significa que se puede construir una teoría de conjuntos consistente donde la hipótesis del continuo sea cierta y también puede construirse una teoría de conjuntos consistente donde dicho resultado sea falso. Vamos, como la cuestión del postulado de las paralelas, pero en teoría de conjuntos. Maravilloso, a la par que inquietante.

Al parecer Cantor creía firmemente que la hipótesis del continuo era cierta, y, como hemos dicho antes, dedicó muchos esfuerzos a demostrar su veracidad. Pero, evidentemente, no lo consiguió. Una auténtica lástima que no llegara a vivir el tiempo suficiente para saber la verdad.

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domingo, 8 de enero de 2017

Cantor ( La hipótesis del continuo )

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