La razón por la que el último teorema de Fermat escapó de las garras de Lamé

La historia del último teorema de Fermat (UTF), ese resultado que estuvo más de 300 años sin demostrar desde lapropuesta vacilona del propio Fermat hasta que Wiles le hincó el diente, está repleta de intentos de demostración de todo tipo, algunos de ellos serios y otros bastante ingenuos. A mediados del siglo XIX uno de ellos estuvo a punto de hacer que el UTF clavara la rodilla en el suelo, cual vencido en una batalla, pero una propiedad relacionada con la factorización de ciertos números echó al traste dicha prueba. El protagonista fue Gabriel Lamé y su intento de demostración del UTF es uno de los más conocidos de entre los que fracasaron.

Gabriel Lamé fue un matemático francés del siglo XIX conocido por su teoría general de las coordenadas curvilíneas y por su análisis sobre la complejidad del algoritmo de Euclides, que Ricardo nos cuenta tan bien en este post, además de por sus estudios sobre el UTF.

Lamé fue el primero en demostrar el caso $n=7$ del UTF, es decir, fue el primero en demostrar que no existen enteros positivos $x,y,z$ tal que $x^7+y^7=z^7$ .

Pero Lamé no se quedó ahí. El 1 de marzo de 1847 anunció a la Academia de Ciencias de París que había demostrado el UTF en su forma general. La idea de Lamé era utilizar los números complejos para convertir la suma en un producto y utilizar después ciertas propiedades de la factorización. Veamos cómo sería esta cuestión para $n=2$ .

Con $n=2$ , el conjunto que tendríamos sería el de los enteros gaussianos:

$\mathbb{Z} \lbrack i \rbrack=\lbrace x+iy; \; x,y \in \mathbb{Z} \rbrace$

Imaginemos que queremos encontrar ternas pitagóricas, es decir, ternas de números enteros positivos $(x,y,z)$ tales que

$x^2+y^2=z^2$

En este conjunto $x^2+y^2$ se puede escribir también como $(x+yi) \cdot (x-yi)$ , por lo que la expresión anterior quedaría como

$(x+yi) \cdot (x-yi)=z^2$

Ahora, el conjunto de los enteros gaussianos es lo que denomina un Dominio de Factorización Única (DFU), lo que significa que todo entero gaussianos puede descomponerse de forma única como producto de sus factores primos (salvo el orden de colocación). Una de las consecuencias de este hecho es que si el producto de dos enteros gaussianos primos entre sí da como resultado un cuadrado, entonces esos dos enteros gaussianos deben ser cada uno de ellos un cuadrado.

Si nos ceñimos a ternas pitagóricas primitivas, que son las que cumplen que $(x,y,z)$ no tienen factores comunes, entonces los enteros gaussianos $x+yi$ y $x-yi$ tampoco tendrán factores comunes. Por tanto, en este caso se tendrá que los dos son igual a un entero gaussiano al cuadrado. En particular:

$x+yi=(a+bi)^2=a^2+2abi+(bi)^2=a^2-b^2+2abi$

De donde, igualando partes reales y partes imaginarias, obtenemos lo siguiente:

$\begin{matrix} x=a^2-b^2 \\ y=2ab \end{matrix}$

que es precisamente la forma de generar ternas pitagóricas primitivas que aparece en los Elementos de Euclides yen este post.

Volvamos a nuestra historia. En aquella época ya se conocía que demostrado el caso $n=4$ del UTF solamente quedaba demostrarlo para exponente $p$ primo. Lo que hizo Lamé es aplicar la misma idea que hemos comentado para las ternas pitagóricas a la ecuación $x^p+y^p=z^p$ , con $p$ primo. En este caso, la parte izquierda de la igualdad se convertía en un producto de factores que contenían las raíces $p$ -ésimas de la unidad, esto es, las $p$ soluciones de la ecuación $m^p-1=0$ ( $m$ número complejo), que se denotan por $1, \zeta, \zeta ^2, \ldots , \zeta ^{p-1}$ . Así podía reescribir la ecuación anterior de la siguiente forma:

$x^p+y^p=(x+y) \; (x+ \zeta y) \; (x+\zeta ^2 y) \ldots (x+ \zeta ^{p-1} y)=z^p$

Con esto ya tenía un problema más o menos parecido al anterior.

El paso siguiente de su demostración fue la clave. En él consideraba los números de la forma

$a_0+a_1 \zeta +a_2 \zeta ^2+ \ldots + a_{p-2} \zeta ^{p-2}$

denominados números ciclotómicos. Con estos números también se pueden realizar las operaciones habituales de suma y multiplicación, y también se puede hablar de divisibilidad y números primos.

A partir de aquí Lamé siguió de una forma más o menos parecida a la que hemos comentado antes sobre los enteros gaussianos demostrando así el UTF. ¿Demostrando el UTF? No, por desgracia no. Un tal Joseph Liouville, que estaba en la sala escuchando la explicación de Lamé, preguntó lo siguiente:

¿Está demostrado que la factorización en el conjunto de los números ciclotómicos es única?

Y ahí se derrumbó todo. Sin ese detalle la demostración era incorrecta, no servía. Lamé reconoció que no había demostrado ese punto, pero que estaba en ello y tenía confianza en poder hacerlo pronto…

…pero la realidad es que no lo hizo, ni podría haberlo hecho porque en ese conjunto de números la factorización no es única. Fue el matemático alemán Ernst Kummer quien, unos meses después, comunicó a Lamé este hecho, tirando definitivamente a la basura el intento de demostración de Lamé.

¿Estaba todo perdido? Pues no, todo no. El propio Kummer ideó una especie de arreglo, que consistía en introducir un nuevo tipo de números complejos: los llamados números complejos ideales. Pero esto ya es otra historia…

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domingo, 24 de julio de 2016

Lamé y el último Teorema de Fermat

La razón por la que el último teorema de Fermat escapó de las garras de Lamé

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