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Demostración de las ecuaciones de las ondas electromagnéticas a partir de las ecuaciones de Maxwell

Hola a todos. Esta será una demostración de las ecuaciones de las ondas electromagnéticas a partir de las ecuaciones de Maxwell. Para seguirla, son necesarios conocimientos básicos de cálculo diferencial en varias variables por la parte matemática y nociones de electromagnetismo por la parte física (las ecuaciones de Maxwell se dan por conocidas, así que no me detendré a explicarlas). Sin más rodeos, procedo con la demostración.

Empezaremos con las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=\dst\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ (1)

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$ (2)

$\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dst\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ (3)

$\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0 \vec{J}+\mu_0 \varepsilon_0 \dst\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ (4)

En ausencia de cargas y corrientes eléctricas (para $\rho=0$ y $\vec{J}=0$ ), las ecuaciones quedan:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=0$ (5)

$\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$ (6)

$\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dst\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ (7)

$\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0 \varepsilon_0 \dst\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ (8)

Ahora podemos empezar a operar con las ecuaciones. Veamos qué pasa si aplicamos el rotacional en ambos miembros de las ecuaciones (7) y (8):

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)=\vec{\nabla}\times\left(-\dst\frac{\par...$ (9)

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)=\vec{\nabla}\times \left(\mu_0 \varepsi...$ (10)

Es decir:

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)=-\dst\frac{\partial }{\partial t}\left(...$ (11)

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)=\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial }...$ (12)

Sustituimos $\vec{\nabla}\times\vec{B}$ y $\vec{\nabla}\times\vec{E}$ de los segundos miembros de ambas ecuaciones siguiendo las expresiones (7) y (8):

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)=-\dst\frac{\partial }{\partial t}\left(...$ (13)

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)=\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial }...$ (14)

Reordenando un poco las ecuaciones:

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^...$ (15)

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{B}\right)=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^...$ (16)

Las dos anteriores expresiones se pueden simplificar mucho gracias a la identidad para cualquier vector $\vec{v}$ :

$\vec{\nabla}\times \left(\vec{\nabla}\times\vec{v}\right)=\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec...$ (17)

Así pues:

$\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}\right)-\vec{\nabla}^2 \vec{E}=-\mu_0 \varepsilon_0\dst...$ (18)

$\vec{\nabla}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}\right)-\vec{\nabla}^2 \vec{B}=-\mu_0 \varepsilon_0\dst...$ (19)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (5) y (6):

$0-\vec{\nabla}^2 \vec{E}=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$ (20)

$0-\vec{\nabla}^2 \vec{B}=-\mu_0 \varepsilon_0\dst\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$ (21)

Finalmente:

$\boxed{\dst\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}-\dst\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\vec{\nabla}^...$ (22)

$\boxed{\dst\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}-\dst\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\vec{\nabla}^...$ (23)

Y estas son las ecuaciones de ondas electromagnéticas. Destacar que si nos fijamos en la forma general de la ecuación de ondas:

$\dst\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-v^2\vec{\nabla}^2 u=0$ (24)

Podemos ver que es una velocidad y en nuestro caso, su cuadrado corresponde con $\dst\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}=c^2$ , nada más y nada menos que el cuadrado de la velocidad de la luz.

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lunes, 23 de marzo de 2015

Ecuaciones de Maxwell

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