NO NUMERABILIDAD DE LOS NÚMEROS TRASCENDENTES

Demostración de la no numerabilidad de los números trascendentes

 

- Un número real  es un número algebraico si existe algún polinomio de grado finito cuyos coeficientes sean todos números enteros

    que tenga a  como raíz (es decir, tal que ).

Propiedades del conjunto de los números algebraicos

1. El conjunto de los números algebraicos es numerable, i.e. puede establecerse una biyección con el conjunto de los números naturales.
2. La suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números algebraicos resulta ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un un grupo aditivo, un anillo y un cuerpo matemático. De modo si s y t son números algebraicos lo son también s + t y st; para s existe el número algebraico -s tal que s + (-s) = 0; para s ≠ o existe s' tal que ss' = 1. 0 es la identidad aditiva, 1 la identidad multiplicativa.⁴ El teorema fundamental del álgebra asegura que toda ecuación polinómica, con coeficientes enteros, tiene solución en ℂ, tiene tantas raíces como indica el grado, tomando en cuenta que algunas raíces pueden repetirse,⁵ no se dice el formato del número algebraico, de hecho calculables por procedimiento de análisis numérico.⁶
3. Como consecuencia de lo anterior, todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden, en todos los casos, escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois.
4. Puede demostrarse que si los coeficientes a_i son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico. En otras palabras, el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado. De hecho, los números algebraicos son el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales (su clausura algebraica).

El conjunto de los números algebraicos, a veces denotado como , forma un cuerpo con la adición y multiplicación heredadas de los complejos . A diferencia de los números complejos los números algebraicos son un conjunto numerable.⁷ y por tanto su cardinal es alef 0). Esto es una consecuencia de que el conjunto de polinomios con coeficientes enteros es numerable.

 - Un número real  es un número trascendente si no es algebraico (es decir, si no existe ningún polinomio con las características descritas antes que lo tenga como raíz).

Todo número real puede clasificarse como algebraico (si existe tal polinomio) o trascendente (si no existe dicho polinomio). Por tanto, el conjunto  de los números reales puede expresarse como la unión del conjunto  de los números algebraicos y el conjunto  de los números trascendentes.

La demostración habitual de la no numerabilidad de los números trascendentes parte del conocido hecho de que los números reales forma un conjunto no numerable. Teniendo en cuenta esto, si se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable y de ahí se deduce que el de los trascendentes (el resto de número reales) no puede serlo, con lo que la demostración está terminada.