nymanmatematico: Aproximación del número e

Para comenzar, podríamos intentar calcular ese número directamente para ver cómo de cerca está del número e. Yo he intentado hacerlo con Mathematica, pero las potencias tan grandes que aparecen en esa expresión hacen que se salga de la capacidad de cálculo del programa.

Acudamos a nuestro amigo WolframAlpha. Aquí sí obtenemos un resultado:

Veamos lo que dice el propio WolframAlpha sobre el número e:

Aunque es complicado de ver (a partir de la segunda línea de decimales no salen el mismo número de decimales en ambas imágenes), podéis comprobar que coinciden en todos esos decimales. Pero el tuit dice que coincide en más de $10^{25}$ decimales, que, evidentemente, son muchísimos más de los que aparecen aquí. ¿Cómo podríamos ver que esto es cierto?

Bien, antes de nada vamos a explicar por qué este número es tan cercano al número e. Si nos fijamos un poco, podemos ver que:

$3^{2^{85}}=3^{2 \cdot 2^{84}}=(3^2)^{2^{84}}=9^{2^{84}}$
$9^{-4^{7 \cdot 6}}=\cfrac{1}{9^{4^{7 \cdot 6}}}=\cfrac{1}{9^{4^{42}}}=\cfrac{1}{9^{(2^2)^{42}}}=\cfrac{1}{9^{2^{2 \cdot 42}}}=\cfrac{1}{9^{2^{84}}}$

Vaya, uno es el inverso del otro. Coloquemos esto en la expresión de la aproximación:

$\left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right )^{9^{2^{84}}}$

¿Os suena de algo? Seguro que sí: es $(1+\frac{1}{n})^n$ para $n=9^{2^{84}}$ , y ya sabemos que

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left ( 1+\cfrac{1}{n} \right )^n=e}$

Teniendo en cuenta que $n=9^{2^{84}}$ es un número enoooooorme, es normal que esta aproximación se acerque tanto al valor del número e.

¿Pero tanto como $10^{25}$ decimales? Veamos. Si este número está muy cerca del número e, entonces su logaritmo neperiano estará muy cerca de 1. Aplicando logaritmo neperiano a ambos lados (y usando una de las propiedades de los logaritmos) nos quedaría lo siguiente:

$9^{2^{84}} \cdot ln \left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right ) \approx 1$

Si en el término de la izquierda usamos el desarrollo en serie de Taylor de orden 1 de $ln(1+x)$ en torno al cero, obtenemos (después de algunos cálculos) lo siguiente:

$9^{2^{84}} \cdot ln \left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right )=9^{2^{84}} \cdot \left ( \cfrac{1}{9^{2^{84}}}-\cfrac{1}{2c^2} \right )$

Este último número, $\frac{1}{2c^2}$ , es el error cometido, y es un número menor que $\frac{1}{9^{2^{84}}}$ . Si calculamos el logaritmo decimal de este número, obtenemos lo siguiente (también he usado WolframAlpha):

El resultado, $-1'8 \ldots \cdot 10^{25}$ nos indica que dicho número comienza con, como mínimo, $10^{25}$ ceros en su expresión decimal. Esto significa que el error, $\frac{1}{2c^2}$ , tendrá al menos esos ceros, y todo esto nos lleva a que la diferencia entre nuestro número y el número e será tan pequeña como este error. O sea que sí, sí tiene sentido que esta magnífica aproximación coincida con el número e en, al menos, los primeros $10^{25}$ decimales.

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jueves, 28 de septiembre de 2017

Aproximación del número e

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