nymanmatematico: Dirichlet ( 212 aniversario de su nacimiento

De Gaussianos

Función de Dirichlet

La función de Dirichlet es una función real de variable real que no es continua en ningún punto de la recta. Se define de la siguiente forma:

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1,\mbox{ si }x\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q}\end{cases}$

Otra forma de definir esta función es la siguiente:

$\displaystyle f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)^{2j}\right)\right)$

Vamos a demostrar que esta función no es continua en ningún punto usando la caracterización de continuidad por sucesiones, que dice lo siguiente:

Sea $f:A\subseteq\mathbb{R}\Longrightarrow\mathbb{R}$ una función real de variable real y sea $a\in A$ . Entonces f es continua en a si $\forall x_n\subset A$ sucesión de elementos de A tal que $x_n \rightarrow a$ se tiene que $f(x_n) \rightarrow f(a)$

Por tanto f no es continua en a si $\exists x_n\subset A$ sucesión de elementos de A tal que $x_n \rightarrow a$ pero $f(x_n) \not\rightarrow f(a)$

Sea $a\in\mathbb{Q}$ . Por ser $\mathbb{R-Q}$ denso (1) en $\mathbb{R}$ se tiene que existirá una sucesión $x_n\subset\mathbb{R-Q}$ tal que $x_n\rightarrow a$ . Y aquí está el problema: como $x_n\subset\mathbb{R-Q}$ se tiene que $f(x_n)=0,\forall n\in\mathbb{N}$ y como $a\in\mathbb{Q}$ se tiene que $f(a)=1$ . Por tanto $f(x) \not\rightarrow f(a)$ .

Al ser $\mathbb{Q}$ también denso en $\mathbb{R}$ la demostración para el caso $a\in\mathbb{R-Q}$ es análoga a la anterior. Por tanto f(x) no es continua en ningún punto.

En general, si en vez de tomar $\mathbb{Q}$ tomamos cualquier subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ que sea denso en $\mathbb{R}$ tenemos una función que no es continua en ningún valor real.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Matemático

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue un matemático alemán al que se le atribuye la definición "formal" moderna de una función.

Fecha de nacimiento: 13 de febrero de 1805, Düren, Alemania

Fecha de la muerte: 5 de mayo de 1859, Gotinga, Alemania

Cónyuge: Rebecka Mendelssohn (m. 1832–1858)

Educación: Universidad de Bonn

Formalmente, se llama espacio topológico al par ordenado (X,T) formado por un conjunto X y una topología T sobre X, es decir, una colección de subconjuntos de X que cumplen las tres propiedades siguientes:

1. El conjunto vacío y X pertenecen a T.

\quad \varnothing \in T,X\in T

2. La intersección de cualquier subcolección finita de conjuntos de T pertenece también a T.

\quad (O_{1}\in T,O_{2}\in T)\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in T)

3. La unión de toda colección de conjuntos de T pertenece también a T.

Esta condición también se escribe, formalmente:²

\quad \forall S\subset T,\cup _{O\in S}O\in T

A los conjuntos pertenecientes a la topología T se les llama conjuntos abiertos y a sus complementos en E conjuntos cerrados.

( 1 ) Sea

(X,{\mathcal {T}})

un espacio topológico,

A\subset X

se dice que es un conjunto denso en

X\;

si y solamente si

{\bar {A}}=X\;

, es decir, la clausura topológica del conjunto es todo el espacio.

Se cumple que las siguientes proposiciones para

A

son todas equivalentes:

$A$ $A$ es denso en $X$ $X$
$A\subset B,B$ $A\subset B,B$ cerrado $\Rightarrow B=X$ $\Rightarrow B=X$
$\forall V\in {\mathcal {T}},A\cap V=\varnothing \Rightarrow V=\varnothing$ $\forall V\in {\mathcal {T}},A\cap V=\varnothing \Rightarrow V=\varnothing$