Cómo demostrar que π (pi) es irracional
Teorema:
es irracional
Demostración
Definimos la siguiente función:
Utilizando el binomio de Newton podemos expresar
así:
>![f(x)=\cfrac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k=\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^{n+k}} f(x)=\cfrac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k=\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^{n+k}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=f%28x%29%3D%5Ccfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D+%5Ccdot+x%5En+%5Ccdot+%5Cdisplaystyle%7B%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%7Bn+%5Cchoose+k%7D+%28-1%29%5Ek+x%5Ek%3D%5Ccfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%7Bn+%5Cchoose+k%7D+%28-1%29%5Ek+x%5E%7Bn%2Bk%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
Cuando
se tiene que
(al derivar menos de
veces el término
no desaparece del todo) y cuando
también obtenemos que
(ya que la propia función es la función
al derivar más veces que su propio grado). Para calcular el resto de las derivadas en
tomamos
y las calculamos para todo
:
Teniendo en cuenta esta expresión vemos fácilmente que
es un número entero para
.
Por tanto tenemos que
es un número entero
. Como
también tenemos que
es un número entero
.
Después de estos preliminares vamos con la demostración. En realidad vamos a demostrar que
es irracional, hecho del que se deduce muy fácilmente que
es irracional (¿Por qué?). La demostración comienza suponiendo que
es racional, es decir,
, con
, es decir, enteros positivos. Definimos para cualquier entero positivo
la siguiente función:
Al ser
y
un número entero
se tiene que
y
son enteros (los denominadores que aparecerían al sustituir
por su supuesta expresión como fracción se cancelarían con el término
del principio).
Realizamos ahora el siguiente cálculo basado en la función
:
Sustituyendo
por
tenemos:
Integrando obtenemos lo siguiente (pasamos
dividiendo a la derecha):
que, como hemos visto antes, es un número entero.
Por otro lado, es sencillo demostrar que para
se tiene que
. Multiplicando a ambos lados por
obtenemos:
Multiplicamos por
y acotamos la parte de la derecha (ya que
):
Integrando entre
y
obtenemos:
Pero la última fracción es menor que
para
suficientemente grande. Por tanto tenemos lo siguiente:
Pero habíamos visto antes que
era un número entero. Es decir, hemos llegado a un número entero entre
y
. Esa es la contradicción.
Por tanto
es irracional y en consecuencia
también lo es.
No hay comentarios:
Publicar un comentario