Número PI en el triángulo de Pascal ( Sacado de Gaussianos )

El triángulo de Pascal nunca dejará de sorprendernos. El hecho de que contenga dentro de él tantos elementos destacables hace que este objeto matemático sea de un gran interés para todos los que de una forma u otra se sienten atraídos por las matemáticas.

Dentro del triángulo de Pascal, que para quien no lo conozca es éste

(los términos de izquierda y derecha son siempre 1, y los demás se consiguen sumando los dos que aparecen encima en la fila justo anterior) podemos encontrar los números naturales, los números combinatorios, losnúmeros triangulares, las potencias de 2, los términos de la sucesión de Fibonacci…¡¡hasta el número e!! Pero, como decía en el post que acabo de enlazar, no conocía ninguna forma de encontrar el número Pi en dicho triángulo…hasta ahora.

Señoras, caballeros, se puede encontrar el número Pi dentro del triángulo de Pascal. Y en este post vamos a comentar cómo hacerlo.

Antes de nada vamos a establecer la notación que vamos a seguir con los elementos del triángulo. Comenzando a numerar las filas desde cero (la primera, la formada solamente por un 1) y los elementos de cada fila también por cero, llamaremos a cada elemento , siendo  la fila donde está el elemento y  la posición que ocupa el elemento en dicha fila . Por ejemplo, si vemos de nuevo el triángulo

el término  sería igual a 4; el término  sería 35; y el término  sería 84.

Bien, metámonos en el asunto. El número combinatorio  se define de la siguiente forma:

Con esta definición, sabemos (como hemos comentado al principio del post) que los elementos  del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios :

(Imagen tomada de aquí.)

Si tomamos ahora  tenemos que:

Simplificando los dos factoriales que dependen de  y desglosando  llegamos a la siguiente expresión:

Hasta aquí bien, ¿verdad? Vale, pues demos un paso más. Vamos a tomar esta serie infinita relacionada con Pi que publicó Nilakantha Somayaji en el siglo XV (al final del post se adjunta una demostración de esta igualdad):

Sacamos factor común el 4 de todas las fracciones, y después las multiplicamos y dividimos todas por 6. El “dividido” lo dejamos fuera de las fracciones, como denominador del 4 que habíamos sacado (quedando entonces ), y el “multiplicado” lo expresamos en todas ellas como , quedando la siguiente expresión:

Y ahora viene la clave: las fracciones que nos han quedado son precisamente los inversos de , para  par y mayor o igual que 4:

Y así llegamos a expresar el número Pi como una serie infinita que involucra de una forma maravillosa a ciertos elementos del triángulo de Pascal:

Maravilloso, ¿verdad? Pues no queda ahí la cosa, porque ésta no es la única forma de “encontrar” Pi en el triángulo de Pascal. Aprovechando que en el triángulo aparecen los números triangulares (hecho que hemos comentado al principio de la entrada), Jonas Castillo Toloza (que, por cierto, suele comentar en Gaussianos),encontró en 2007 esta bella serie infinita que involucra al número Pi y a ciertos términos del triángulo de Pascal:

En el segundo enlace de Cut-the-Knot que aparece en las fuentes de este post podéis ver un par de demostraciones de este hecho, y también algo más de información. Y si queréis ver más patrones que se pueden encontrar en el triángulo de Pascal no os perdáis Patterns in Pascal Triangle, también de Cut-the-Knot.

Y, como siempre, si conocéis alguna otra forma interesante de encontrar Pi mediante términos del triángulo de Pascal (o algún otro patrón que aparezca en el triángulo y que no sea muy conocido) ahí tenéis los comentarios para que nos habléis sobre ello.

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Como no he encontrado por ahí ninguna demostración de la fórmula de Somayaji, he desarrollado yo la siguiente:

Demostración de la fórmula de Somayaji:

Expresamos la fórmula de Somayaji

de la siguiente forma:

Sacando el 2 de  y el 2 de  y simplificando con el 4 obtenemos la siguiente expresión de dicha fórmula:

Vamos a demostrar que dicha suma infinita vale, efectivamente, .

Expresamos la fracción  como suma de fracciones simples, quedando:

Vamos ahora a dar valores a  desde 1 en adelante (incluyendo el término , que determinará el signo de cada uno de ellos) para ver qué términos nos aparecen:

Si ahora sumamos todos esos términos vemos que todas las fracciones que aparecen en los dos primeros lugares en cada uno de ellos se cancelan, al aparecer cada una de ellas una vez con signo positivo y otra con signo negativo. Nos queda el 1 inicial y todos los terceros sumandos de cada término. Por tanto:

Y ahora la clave está en utilizar la suma de Leibniz (de cuya validez tenéis una demostración aquí):

Si os fijáis, esta suma de Leibniz es precisamente las que nos ha aparecido en la expresión anterior, pero en vez de comenzar en  la nuestra comienza en . Por tanto tendremos que restarle a  el primer término de la suma de Leibniz, que es 1, quedando:

Con esto ya podemos terminar:

que era lo que queríamos probar. Como ello queda demostrada la validez de la fórmula de Somayaji.