los números de Lychrel ( Extraido de Gaussianos )

La conjetura del 196

 

 

Tomemos un número natural cualquiera, por ejemplo el 75. Invirtamos ahora el orden de sus cifras y sumemos al propio 75 el número resultante:

Volvamos a hacer lo mismo con el :

Vaya, en dos pasos hemos llegado a un número capicúa. Probemos con otro mayor, el :

En este caso sólo hemos necesitado un paso. Otro ejemplo más, ahora con el :

; ; 

Ahora hemos necesitado tres pasos. Un último ejemplo, esta vez con el :

; ; ; 

Parece que con el  la cosa se alarga más que con los anteriores. ¿Cuánto? Ahora lo veremos.

Los números de Lychrel

 

Los llamados números de Lychrel son los números naturales en base 10 que no llegan a dar un número capicúa como resultado del proceso iterativo descrito en los ejemplos anteriores. Su nombre de debe a Wade VanLandingham, y es una especie de anagrama de Cheryl, el nombre de su novia.

Analizando un poco el tema, es sencillo ver que todos los números de una cifra llegan a un capicúa en un número corto de pasos, por lo que ninguno de ellos es un número de Lychrel. Con los números de dos cifras pasa algo parecido, llegan a un capicúa en pocos pasos, aunque hay algunos casos extraños en los que hace falta un inusual número de repeticiones para llegar al capicúa, como el , que necesita 24 iteraciones, dando como resultado el número capicúa

En lo que respecta a un gran número de iteraciones tenemos más ejemplos, como el , que necesita de 55 pasos para llegar al capicúa

o el que has 2005 tenía el récord, , que tarda la friolera de 261 iteraciones para llegar al número capicúa

Casi nada.
Bueno, y la pregunta es: ¿hay algún número de Lychrel? Es decir, ¿hay algún número que no dé un capicúa con este método? Pues…no se sabe. Esto es, no se conoce la existencia de ningún número de Lychrel, pero tampoco se ha demostrado que no existan. Lo que sí tenemos son candidatos a números de Lychrel, es decir, números para los cuales no se han encontrado un capicúa después de muchas iteraciones, pero para los que no se sabe si se encontrará o no. Y el más pequeño de todos ellos es el . No es el único, pero el hecho de ser el menor de todos los candidatos a número de Lychrel le hace ser especial. Tanto que el proceso descrito antes, repetir la operación de sumar a cada número obtenido el resultado de invertir el número de sus cifras, se denominaalgoritmo 196.

La historia de la búsqueda del capicúa asociado a  ha estado ligada, como no podía ser de otra manera, a los ordenadores. John Walker comenzó esta búsqueda en 1987 con un programa creado por él. Después de 3 años de funcionamiento y 2415836 iteraciones el programa había llegado a un número de un millón de dígitos…sin encontrar un capicúa. Walker publicó sus resultados por si alguien quería coger el testigo, hecho que no llegó hasta 1995, año en el que Tim Irvin tomó estos datos y llegó hasta un número de dos millones de dígitos…y el capicúa seguía sin aparecer. Jason Doucette llegó a los 12’5 millones de dígitos en el año 2000 y Wade VanLandingham consiguió llegar después de 724756966 iteraciones hasta un número de 300 millones de dígitos…y ni rastro del capicúa. Por ello, las sospechas de que el número  es el primer número de Lychrel son bastante fuertes, pero seguimos sin saber con seguridad si lo es o no. Por cierto, para quien quiera echarle un vistazo aquí os dejo las primeras 200 iteraciones.

Hemos comentado antes que el  no es el único candidato a número de Lychrel que se conoce. De hecho hay unos cuantos. Aquí podéis ver los primeros de todos los que se conocen:

Hasta tienen un apartado en la Enciclopedia de las Sucesiones, concretamente éste.

Hasta ahora lo único que se ha hecho es utilizar programas de fuerza bruta con algunas modificaciones para que sean más eficientes. ¿Se llegará a un algoritmo que simplifique la búsqueda que consiga llegar a un capicúa con alguno de estos candidatos? ¿Se encontrará algún procedimiento matemático que demuestre que alguno de ellos es efectivamente un número de Lychrel? Quizá nunca lo sepamos.