Teorema fundamental del cálculo.
Antes de enunciar y demostrar el teorema, cabe señalar que estamos hablando de la integración tipo Riemann y que a las funciones integrables Riemann en un intervalo realse las denota como
, es decir:
es el espacio de funciones integrables Riemann en
.
Teorema fundamental del cálculo:
Seay
tal que
. Entonces:
i)es continua en
.
ii) Seacontinua en un punto
entonces
es derivable en
y
Demostración
i) Como, la función es acotada, es decir
y
.
Si tomamos:tal que
con
(es decir, un h lo suficientemente pequeño como para que, al ser sumado a un número del intervalo, sigamos dentro del intervalo):
Nota: hemos usado las siguientes propiedades de las integrales:y
.
Si tomamos valor absoluto:
Donde hemos usado que:y
Si aplicamos el límite en el que:
![]()
Q.E.D
ii) Seacontinua en
. Sea
tal que
(igual que en el primer apartado).
Pueses una constante y hemos usado la propiedad de las integrales mencionada antes. Como la integración es una operación lineal (es decir:
y
), tenemos:
Comoes continua en el punto
tal que dado
si
. Tomando valor absoluto en la expresión anterior:
Pues, ya que. Si
tenemos:
Q.E.D
Demostración basada en las clases de Análisis Matemático de 1º de Grado en Física de José Esteban Galé, profesor de la Universidad de Zaragoza; Dpto. de Análisis Matemático.
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