El problema de Basilea

El problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:

Este problema fue propuesto por primera vez por el matemático Pietro Mengoli en 1644 y fue popularizado por Jakob Bernoulli en 1689, pero ninguno de los dos lo resolvieron. Otros grandes matemáticos de la época, como Johann Bernoulli, Leibnitz y Wallistampoco pudieron encontrar la solución (aunque este último calculó su valor con 3 decimales). Este hecho le dio al problema aún más importancia. Al final fue el genialLeonhard Euler quien le puso el cascabel al gato, como en muchas otras ocasiones. De hecho este problema se acabó denominando así porque tanto Euler como los Bernoulli residían allí. Veamos cómo lo hizo.

Demostración del problema de Basilea

Sabemos que sin(x) = 0 cuando x = 0, π (Pi), -π (Pi), 2π (2Pi), -2π (-2Pi),…, es decir, en 0 y los múltiplos enteros de π (Pi). Por tanto podemos expresar la función sin(x) como producto de una constante por (x – cada una de las raíces). Queda algo así:

Multiplicamos los dos factores asociados a π (Pi), los dos asociados a 2π (Pi), etc.:

Como para cada n tenemos que x² – nπ² = 0 (x² – nPi² = 0) podemos escribirlos de la siguiente forma:

Dividimos por x:

Ahora, como sin(x) partido por x tiende a 1 cuando x tiende a 0 tenemos que C = 1:

Tenemos una igualdad entre polinomios. Eso implica que los términos de cada uno de los grados deben ser iguales a ambos lados de la igualdad. Quedémonos con los términos de x²:

Multipliquemos por -π² (-Pi²) y dividamos por x²:

Como vemos hemos obtenido el resultado buscado:

En esta demostración Euler asume ciertos resultados como ciertos que demostraría más adelante. Pero la demostración es perfectamente válida. Aquí podéis ver otra demostración de este resultado.