Muse - Bliss

TCHAIKOVSKI.- Obertura.Fantasía de Romeo y Julieta 1880

Chopin ( Polonesa Op. 53 )

Chopin - Polonaise, Op. 53 (Kissin)

 

Polonaise, Op. 53

Evgeny Kissin, piano

The Polonaise in A-flat major, Op. 53 (nicknamed Heroic, or Heroique) for solo piano was written by Frédéric Chopin in 1842. This masterpiece is one of Chopin's most popular compositions and has always been a favorite of the classical piano repertoire. The piece requires exceptional pianistic skills and requires virtuosity to be played at an appropriate level of quality. Although the piece is labeled as a polonaise, it has little to do with the typical polonaise style. It presents two sections with a polonaise rhythm, but most of it has no particular polonaise attribute. It has been said that Chopin had composed the piece having a free and powerful Poland in mind, which may have led him to label it as a polonaise. Another possibility is that this Polonaise is closely related to the Polonaise in A major, Op. 40, No. 1, known as the Military Polonaise, which, unlike Op. 53, is a true polonaise.

Frederic Chopin (1810 - 1849)

 

The Beatles - Paperback Writer

 

 

Fibonacci, la representación de Zeckendorf y la conversión entre kilómetros y millas

 

La sucesión de Fibonacci, llamada así por el matemático italiano Leonardo de Pisa, Fibonacci (que la presentó en su obra Liber Abaci), es posiblemente una de las sucesiones numéricas más conocidas por los matemáticos y los no matemáticos. Y no es para menos, dada la gran cantidad de propiedades interesantes que posee y la manía que tiene de aparecer en los lugares más insospechados, además de por su relación con , el número áureo. Pero es posible que un objeto matemático como éste nunca sea totalmente conocido, siempre esconda algo. Hoy vamos a hablar de una interesante propiedad de esta sucesión que es poco conocida y que está relacionada con representaciones de números enteros positivos.

Sabemos que todo entero positivo puede representarse de forma única como suma de potencias de 2. De hecho es en esta propiedad en la que se basa el sistema de numeración binario, en el que cada número entero positivo se representa de una única forma con una sucesión de ceros y unos, correspondiendo un 1 a cada potencia de 2 que aparece en la representación y un 0 a cada potencia de 2 que no aparece. Por ejemplo, el 46 se representa de forma única como suma de potencias de 2 de la forma

por lo que 46 en binario es:

¿Qué tiene que ver esto de las representaciones de números enteros con los números de Fibonacci? Para responder a esta pregunta primero tenemos que introducir en esta historia al médico y matemático belga Edouard Zeckendorf, que además fue miembro del ejército belga y prisionero de guerra de 1940 a 1945. Él fue quien demostró el siguiente resultado, conocido como teorema de Zeckendorf:

Teorema de Zeckendorf:

Todo número entero positivo puede representarse de forma única como suma de números de Fibonacci (esto es, elementos de la sucesión de Fibonacci) distintos, de tal forma que dicha representación no contiene dos números de Fibonacci consecutivos.

Esta representación se denomina representación de Zeckendorf del número entero positivo en cuestión.

Vamos, que podríamos representar cada número entero positivo de una forma parecida a como lo hacemos con las potencias de 2 pero con números de la sucesión de Fibonacci, que, por cierto, no está de más recordar

asignando un 1 a una posición si el número de Fibonacci correspondiente aparece en la representación(como , para evitar problemas nos quedamos uno de ellos nada más, , para las representaciones) y un 0 a una posición si el número de Fibonacci correspondiente no está en ella. En el ejemplo que aparece un poco más adelante se verá más claro todo eso.

Zeckendorf publicó su resultado en The Fibonacci Quarterly en 1972, aunque al parecer lo conocía desde 1939. Puede accederse gratuitamente a su artículo en A generalized fibonacci numeration (aquí podéis ver las correcciones de algunas erratas que contenía dicho artículo).

¿Cómo encontramos la representación de Zeckendorf de un número entero positivo ? Pues, a priori es muy sencillo:

Tomamos el número de Fibonacci más grande de entre los que son menores que  y se lo restamos a . Si queda cero es que el propio  era un número de Fibonacci, y si no es así repetimos el proceso las veces que sea necesario hasta que una de las restas dé cero.

Vamos a hacerlo también con el 46, del que hace un rato calculamos la expresión en binario:

• Como 46 no está en la sucesión de Fibonacci, su representación de Zeckendorf no es él mismo. Tomamos el número de Fibonacci más grande que sea menor que 46, que es el 34, que por tanto estará en la representación.
• Restamos: 46-34=12. Como 12 no es un número de Fibonacci buscamos el mayor elemento de la sucesión que sea menor que él, que es el 8. Entonces este 8 también estará en la representación.
• Restamos: 12-8=4. Como 4 no está en la sucesión, buscamos el mayor número de Fibonacci que sea menor que él, que es el 3, que por tanto también estará en la representación.
• Restamos: 4-3=1, que sí es un número de Fibonacci, por lo que también hay que tomarlo.
• La representación queda como sigue:
  
  
  
  

Cuanto menos curioso.

Esta representación de Zeckendorf también puede servir para definir una operación poco conocida: la denominadamultiplicación de Fibonacci. Se define de la siguiente forma:

Dados dos números enteros positivos  cuyas representaciones de Zeckendorf son las siguientes:

con , definimos la multiplicación de Fibonacci de  y , que denotaremos , así:

Veamos un ejemplo. Vamos a hacer la multiplicación de Fibonacci de 7 y 14, esto es, . Para ello, calculamos las representaciones de Zeckendorf de cada uno de ellos:

 y 

Entonces:

Es fácil comprobar que esta operación es conmutativa (reordenando las sumas). Lo que es sorprendente es que también sea asociativa, hecho que probó Donald Knuth (parece que este señor tiene que estar siempre relacionado con cosas raras, como la notación de Knuth).

Y también podemos extender la sucesión de Fibonacci a índices negativos, consiguiendo así una forma de representar todo número entero (sea positivo y negativo) de forma única. Echadle un ojo a los trabajos de Zeckendorf y a los enlaces y podréis encontrar más información.

Para terminar, vamos a ver una manera de pasar de kilómetros a millas, y viceversa, usando esta representación. La clave está en el hecho de que la sucesión de los cocientes de cada número de Fibonacci entre el justo anterior converge al número áureo  y que una milla son aproximadamente  kilómetros.

¿Cómo podemos usar esto para nuestro objetivo? Muy sencillo. Supongamos que queremos expresar 72 millas en kilómetros. Lo que tenemos que hacer es encontrar la representación de Zeckendorf de 72 y después sustituir cada número de Fibonacci que aparezca en ella por el inmediatamente superior. La representación de Zeckendorf de 72 es

Según lo anterior, esto nos dice que 72 millas serán, aproximadamente

 kilómetros.

Si queremos pasar de kilómetros a millas hacemos lo mismo, pero en este caso sustituimos cada número de Fibonacci por el anterior.

Liszt ( Preludio y fuga sobre Bach )

Franz Liszt Preludio y Fuga sobre BACH

 

Boccherini ( Sinfonía nº 4 )

Luigi Boccherini Symphony in C Major Op. 10 No. 4 G 523

Luigi Boccherini (1743-1805)
Symphony in C Major Op. 10 No. 4 G523
I. Grave: Allegro e con imperio
II. Grave
III. Allegro

From "Luigi Boccherini - Complete Symphonies Vol. 1"
Performed by Deutsche Kammerakademie Neus
Conducted by Johannes Goritski
 

Albeniz ( Lavapiés por Alicia de Larrocha )

Iberia IX -Lavapiés-

 

Lavapies is a popular quarter in Madrid and, with Evocación, is the only piece which does not represent an Andalusian city or town. It's considered by many as the hardest piece in Iberia because of its complex rythm and the enormous quantity of alterations it has which difficult the reading of the score. The image shown on the first half of the video is the original manuscript of Lavapies stored in Barcelona in the Museo de la Musica.

 

Wagner ( Tristán e Isolda )

Wagner - Tristan und Isolde

 

Tristan und Isolde
Richard Wagner (1813 - 1883)
Conductor: Herbert von Karajan
Orchestra: Berliner Philarmoniker
Vocal: H. Dernesch, J. Vickers, C. Ludwig, W. Berry

0:00 Act I
1:25:10 Act II
2:45:28 Act III

 

Fauré ( Nocturno nº 1 )

Nocturno No.1 by Gabriel Fauré

 

Composer: Gabriel Fauré. Pianist: Ninfa Calvario.

 

Wagner ( El coro de los peregrinos de Tannhaüser )

Tannhaüser - Coro de los peregrinos

 

Johan Strauss ( Vals "Rosas del Sur" )

 

VALS DE LAS ROSAS DEL SUR "STRAUSS"

 

Rosas del sur es un vals compuesto por Johann Strauss hijo, en 1880, con temas extraídos de la opereta: El pañuelo de encaje de la reina, inspirada en una novela de Heinrich Bohrmann-Riegen.
El vals fue interpretado por primera vez en los conciertos dominicales regulares de la orquesta Strauss, en Viena. Los temas extraídos de la opereta Donde florece la rosa silvestre, seguramente inspiró el título del vals. Los seguidores de Star Trek reconocerán «Rosas del sur» como el vals que Nyota Uhura interpreta en El escudero de Gothos. La canción también se utiliza en el videojuego Dancing with the Stars para PlayStation 2.

 

El Acorde de Tristán de Wagner

Acorde de Tristán

El acorde inicial de Tristán e Isolda, de Richard Wagner.

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El acorde de Tristán es un acorde formado por las notas fa, si, re♯ y sol♯. En general, también se denomina así a cualquier acorde formado con los mismos intervalos musicales, aún en otras tonalidades: partiendo de la nota más grave (fa), unacuarta aumentada (si), una sexta aumentada (re♯) y una novena aumentada (sol♯).

Se trata del primer acorde que se escucha en el movimiento langsam und schmachtend (lento y languideciendo) de la óperaTristán e Isolda. En la época del estreno, se consideró innovador y atrevido iniciar una obra musical con este acordedisonante y, en consecuencia, pasó a la historia con el nombre de la composición de Richard Wagner.

El acorde tiene diversas interpretaciones, en función de las notas del acorde que tomemos como «reales». Existe controversia respecto a qué nota debe interpretarse como real, el sol# o el la. Las diferentes lecturas en función de las notas reales son:

1.- Fa/Si/Re#/Sol# (Sol#/Si/Re#/Fa): séptima de sensible de la menor de con 5ª aumentada (re#). Función de dominante.

2.- Fa/Si/Re#/La (Si/Re#/Fa/La): dominante de la dominante con séptima y 5ª disminuida, de La menor (dominante de mi, que es a su vez dominante de la). En este caso la función es de subdominante, ya que el acorde vendría a formar parte de la zona previa a la dominante (mi) de la tonalidad (la).

3.- Fa/Si/Re#/La (Fa/La/Si/Re#): sexta aumentada a la francesa. Observamos que entre el fa y el re# hay una 6ª aumentada. El resto de notas (La/Si) rellenan el acorde de sexta aumentada «a la francesa». Los acordes de sexta aumentada no tienen función de dominante, sino que amplían la zona previa a la dominante. Por lo tanto su función sería de subdominante