Chopin ( El Pianista)

                       

Nocturno en do sostenido menor Op Postumo

JOHN SEBASTIAN BACH

                                  

J.S. Bach - Christmas Oratorio BWV 248

Richard Wagner

Metallica

                           

Metallica - Whiskey In The Jar

Mendelssohn

Sueño de una noche de verano (obertura) - Felix Mendelssohn -- Bartholdy

Shostakovich

     

Rostropovich conducts Shostakovich Symphony No.7 in C major, Op.60 'Leningrad'

Richard Strauss

                         

"Ein Heldenleben", op. 40 -- Mariss Jansons

150 Aniversario del nacimiento de Richard Strauss

Numberphile

Dvörak

                                   
                            

Rusalka.Canción de la Luna

Base de numeración 12 ( Docenal)

                Sistema duodecimal

El sistema duodecimal es un sistema de numeración de base-doce, también llamado docenal.

Existen sociedades en Gran Bretaña y en los EEUU que promocionan el uso de la base-doce, argumentando lo siguiente:

• El 12 tiene cuatro factores propios (excluidos el 1 y el propio 12), que son 2, 3, 4 y 6; mientras que el 10 sólo tiene dos factores propios: 2 y 5. Debido a esto, las multiplicaciones y divisiones en base 12 son más sencillas (ver más adelante) y, por tanto, el sistema duodecimal es más eficiente que el decimal.
• Históricamente, el 12 ha sido utilizado por muchas civilizaciones. Se cree que la observación de 12 apariciones de la Luna a lo largo de un año es el motivo por el cual el 12 es empleado de forma universal en todas las culturas. Algunos ejemplos incluyen el año de 12 meses, 12 signos zodiacales, 12 animales en la astrología china, etc.
• Debido a que el 12 es un número abundante, se emplea con profusión en las unidades de medida, por ejemplo, un pie son 12 pulgadas, una libra troy equivale a 12 onzas, una docena de artículos tiene 12 artículos, una gruesa tiene 12 docenas, etc.

Fracciones y números irracionales

En cualquier sistema de numeración posicional de base racional (como el decimal y el duodecimal), todas aquellas fracciones irreducibles cuyo denominador contenga factoresprimos distintos de los que factorizan la base, carecerán de representación finita, obteniéndose para ellas una serie infinita de dígitos de valor fraccionario (comúnmente llamados "decimales", si bien resulta absurdo emplear este término para bases distintas de la decimal). Además, esta serie infinita de dígitos presentará un período de recurrencia, dándose recurrencia pura cuando no haya ningún factor primo en común con la base, y recurrencia mixta (aquella en la que hay dígitos fraccionarios al comienzo que no forman parte del período) cuando haya al menos un factor primo en común con la base. Así pues, en base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3; mientras que en base decimal se da esto cuando son distintos de 2 y 5:

Base decimal Factores primos de la base: 2, 5			Base duodecimal / docenal Factores primos de la base: 2, 3
Fracción	Factores primos del denominador	Representación posicional	Representación posicional	Factores primos del denominador	Fracción
1/2	2	0,5	0,6	2	1/2
1/3	3	0,33333333...	0,4	3	1/3
1/4	2	0,25	0,3	2	1/4
1/5	5	0,2	0,249724972497...	5	1/5
1/6	2, 3	0,166666666...	0,2	2, 3	1/6
1/7	7	0,142857142857142857...	0,186A35186A35186A35...	7	1/7
1/8	2	0,125	0,16	2	1/8
1/9	3	0,11111111...	0,14	3	1/9
1/10	2, 5	0,1	0,1249724972497...	2, 5	1/A
1/11	11	0,0909090909...	0,11111111...	B	1/B
1/12	2, 3	0,0833333333...	0,1	2, 3	1/10
1/13	13	0,076923076923076923...	0,0B0B0B0B0B...	11	1/11
1/14	2, 7	0,0714285714285714285...	0,0A35186A35186A35186...	2, 7	1/12
1/15	3, 5	0,066666666...	0,0972497249724...	3, 5	1/13
1/16	2	0,0625	0,09	2	1/14
1/17	17	0,05882352941176470588235294117647...	0,08579214B36429A708579214B36429A7...	15	1/15
1/18	2, 3	0,055555555...	0,08	2, 3	1/16
1/19	19	0,052631578947368421052631578947368421...	0,076B45076B45076B45...	17	1/17
1/20	2, 5	0,05	0,0724972497249...	2, 5	1/18
1/21	3, 7	0,047619047619047619...	0,06A35186A35186A3518...	3, 7	1/19
1/22	2, 11	0,04545454545...	0,066666666...	2, B	1/1A
1/23	23	0,0434782608695652173913043478260869565...	0,0631694842106316948421...	1B	1/1B
1/24	2, 3	0,04166666666...	0,06	2, 3	1/20
1/25	5	0,04	0,05915343A0B605915343A0B6...	5	1/21
1/26	2, 13	0,0384615384615384615...	0,056565656565...	2, 11	1/22
1/27	3	0,037037037037...	0,054	3	1/23
1/28	2, 7	0,03571428571428571428...	0,05186A35186A35186A3...	2, 7	1/24
1/29	29	0,03448275862068965517241379310344827586...	0,04B704B704B7...	25	1/25
1/30	2, 3, 5	0,033333333...	0,0497249724972...	2, 3, 5	1/26
1/31	31	0,032258064516129032258064516129...	0,0478AA093598166B74311B28623A550478AA...	27	1/27
1/32	2	0,03125	0,046	2	1/28
1/33	3, 11	0,0303030303...	0,044444444...	3, B	1/29
1/34	2, 17	0,029411764705882352941176470588235...	0,0429A708579214B36429A708579214B36...	2, 15	1/2A
1/35	5, 7	0,0285714285714285714...	0,0414559B39310414559B3931...	5, 7	1/2B
1/36	2, 3	0,0277777777...	0,04	2, 3	1/30

Por otra parte, en cualquier sistema de numeración posicional de base racional, todo número irracional no sólo carece de representación finita, sino que además su serie infinita de dígitos carece de periodo de recurrencia. A continuación se ofrecen los primeros dígitos de la representación en base duodecimal de varios de los números irracionales más importantes. Como puede apreciarse, resulta más sencillo memorizar los nueve primeros dígitos de pi en base duodecimal que en base decimal, mientras que ocurre al contrario con los diez primeros dígitos del número e:

Número irracional	En base decimal	En base duodecimal
π (pi, la proporción entre circunferencia y diámetro)	3,141592653589793238462643... (~ 3,1416)	3,184809493B918664573A6211... (~ 3,1848)
e (la base del logaritmo natural o neperiano)	2,718281828459... (~ 2,718)	2,875236069821... (~ 2,875)
φ (fi, el número de oro o razón dorada)	1,618033988749... (~ 1,618)	1,74BB67728022... (~ 1,75)
√2 (la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario)	1,414213562373... (~ 1,414)	1,4B79170A07B7... (~ 1,5)
√3 (la longitud de la diagonal de un cubo unitario, o el doble de la altura de un triángulo equilátero)	1,732050807568... (~ 1,732)	1,894B97BB967B... (~ 1,895)
√5 (la longitud de la diagonal de un rectángulo 1×2)	2,236067977499... (~ 2,236)	2,29BB13254051... (~ 2,2A)

Los primeros dígitos en base duodecimal de otro número destacable, la constante de Euler-Mascheroni, pero de la que por el momento se desconoce si es racional o irracional:

Número	En base decimal	En base duodecimal
γ (la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural)	0,577215664901... (~ 0,577)	0,6B15188A6758... (~ 0,7)

Tabla de multiplicar[editar]

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

Búsqueda de números primos[editar]

En base 12, un número primo sólo puede acabar en 1, 5, 7 ó B (con las únicas excepciones de los números primos 2 y 3). Las ocho posibilidades restantes generan siempre números compuestos:

• Los acabados en 0, 2, 4, 6, 8 y A son múltiplos de dos
• De éstos, los acabados en 0, 4 y 8 son además múltiplos de cuatro
• Los acabados en 0, 3, 6 y 9 son múltiplos de tres
• De éstos, los acabados en 0 y 6 son además múltiplos de seis
• De todos los anteriores, los acabados en 0 son además múltiplos de doce

A continuación se lista la serie de números primos (hasta aquellos de menos tres dígitos) en base duodecimal:

En base duodecimal	2	3	5	7	B	11	15	17	1B	25	27	31	35	37	3B	45	4B	51	57	5B	61	67	6B	75	81	85	87	8B	91	95	A7	AB	B5	B7	...
En base decimal	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	...

Rachmaninov

           

Piano Concerto n.3 - Nikolai Lugansky - 2nd & 3rd mvt

Rachmaninov

                        

Piano Concerto n.3 - Nikolai Lugansky - 1st mvt.

Rachmaninov

 

BOCHERINI

      

Symphony No. 6 in D minor, Op 12 No 4

Vide cor meum

                      

Patrick Cassidy

JUAN SEBASTIAN BACH

  

     

Richter Bach The Well-Tempered Clavier Book BWV 846 - 893

Circunferencia de CONWAY

La circunferencia de Conway     En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultado preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso del que os voy a mostrar en esta entrada, que además de ser una maravilla geométrica nos da la forma de construir la que en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway. Partimos de un triángulo cualquiera, como éste: Ahora desde cada vértice prolongamos los lados que se cortan en él con un segmento cuya longitud sea igual al lado opuesto de dicho vértice. La cosa quedaría tal que así (he añadido colores para que se vea más claramente): Bien, pues lo que asegura el teorema de Conway es lo siguiente: Teorema de Conway: Los seis puntos en los que terminan cada uno de los segmentos prolongados de la manera comentada anteriormente desde los tres vértices del triángulo están en la misma circunferencia. Por esta razón se la conoce como circunferencia de Conway. En el siguiente applet de GeoGebra podéis ver esta circunferencia de Conway, y comprobar, moviendo los vértices del triángulo, que esos seis puntos siempre caen en ella: Bien, vamos a intentar demostrar este resultado. Para ello vamos a utilizar el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia: Sea  un punto del plano y  una circunferencia que no pasa por . Supongamos que tomamos dos cuerdas que pasan por  y tal que cada una de ellas corta a la circunferencia en dos puntos, la primera en los puntos  y la segunda en los puntos . Entonces se cumple que: Es decir, el producto de las longitudes de los dos segmentos en los  a cualquier cuerda que pasa por él es constante. Al valor de ese producto se le denomina potencia del punto  respecto de la circunferencia . En realidad vamos a utilizar el siguiente resultado, que podría decirse que es el recíproco de éste: Si dos segmentos  y  que se cortan en un punto  verifican que , entonces los cuatro puntos  y  están en la misma circunferencia. Vamos a la demostración: Fijémonos en el vértice , en el que se cortan los segmentos  y . Por un lado tenemos que , y por otro también se cumple que . Por tanto tenemos que los puntos  y  están en la misma circunferencia.Pero podemos hacer lo mismo con el vértice  y los segmentos  y , por lo que los puntos  y  están en la misma circunferencia. Con ello obtenemos que los seis puntos  y  están en la misma circunferencia. Demostración sencilla para un resultado precioso, ¿verdad? Bien, pues la cosa no queda ahí. El centro de esta circunferencia es…bueno, eso os lo dejo a vosotros. Es decir, tenéis que decir qué punto es el centro de la circunferencia de Conway y dar una demostración que avale vuestra propuesta. Espero vuestros comentarios. ¿Por qué se conoce como circunferencia de Conway? Porque fue el propio John Horton Conway quien estrenó un subforo deMathForum proponiendo este mismo problema (aquí nos hablan de ello). Y para honrar este bonito resultado, ¿qué mejor que plasmarlo en una camiseta? ¿Y quién mejor para hacerlo que el propio John Horton Conway? Pues ahí la tenéis, tomada de este post del blog de Tanya Khovanova (lugar por el que supe por primera vez sobre la existencia de este resultado): Genio y figura el señor Conway, sin duda.     LAS VÍSPERAS DE MONTEVERDI