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viernes, 30 de septiembre de 2016

Beethoven ( Criaturas de Prometeo )



The Creatures Of Prometheus (Ballet Music) - Beethoven - Menuhin - Menuhin Festival Orchestra

 Yehudi Menuhin conducts The Menuhin Festival Orchestra.

Straight from the 1970 vinyl. I own nothing here.

Overture -- Adagio -- Allegro molto e con brio 0:01-04:46
Introduction (La Tempesta). Allegro non troppo (C major) 04:46-06:46 
1. Poco Adagio -- Allegro con brio -- Poco Adagio -- Allegro con brio (C major) 06:48- 09:39
2. Adagio -- Allegro con brio (F major) 09:43-11:31
3. Allegro vivace (F major) 11:32-13:04
6. Un poco Adagio -- Allegro (G major) 13:08-14:37
7. Grave (G major) 14:38-18:47
8. Marcia. Allegro con brio -- Presto (D major) 18:48-25:39
9. Adagio -- Adagio -- Allegro molto (E♭ major) 25:43-29:46
10. Pastorale. Allegro (C major) 29:48-32:56
11. Coro di Gioja. Andante (C major) 33:00-33:20
12. Solo di Gioja. Maestoso -- Adagio -- Allegro (C major) 33:21-36:16
14. Solo della Signora Cassentini. Andante -- Adagio -- Allegro -- Allegretto (F major) 36:19-41:15
15. Solo di Viganò. Andantino -- Adagio -- Allegro (B♭ major) 41:20-46:01
16. Finale. Allegretto -- Allegro molto -- Presto (E♭ major) 46:04-52:40

 En la mitología griega, Prometeo (en griego antiguo Προμηθεύς, ‘previsión’, ‘prospección’) es el Titán amigo de los mortales, honrado principalmente por robar el fuego de los dioses en el tallo de una cañaheja (La cañaheja (Ferula communis) es un arbusto perenne, de 1-3 m de altura, muy robusto, con grandes inflorescencias abundantemente ramificadas) , darlo a los hombres para su uso y posteriormente ser castigado por Zeus por este motivo.

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jueves, 29 de septiembre de 2016

Mozart ( Concierto para piano Nº 20 )



MOZART: CONCIERTO PARA PIANO N° 20 - MARÍA JOAO PIRES & PIERRE BOULEZ & BERLIN PHILARMONIC -- 2003

ORQUESTA FILARMÓNICA DE BERLÍN

EURO KONZERT 2003 - MOSTEIRO DOS JERONIMOS

LISBOA - PORTUGAL - 1° DE MAYO DE 2003
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Chris Medina



Chris Medina - What Are Words Piano by Ray Mak
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lunes, 26 de septiembre de 2016

Un cuerno finito-infinito

Un cuerno finito-infinito

Hace casi cuatro siglos, Torricelli descubrió una figura cuyas propiedades relacionan lo finito y lo infinito de una manera no conocida hasta ese momento, lo que generó cierta controversia entre algunos de los principales pensadores de la época.

El mundo de las matemáticas está repleto de figuras con características interesantes o con propiedades curiosas. En ocasiones, estas figuras tienen una definición extraña o son creadas expresamente para que posean esas propiedades que resultan sorprendentes o que, de alguna manera, atentan contra nuestra intuición.
No es el caso de la figura que nos ocupa hoy. Su definición es relativamente sencilla y, sin embargo, presenta una curiosa característica que relaciona lo finito y lo infinito. Nos referimos al conocido como cuerno de Gabriel.
El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli), se puede construir de la siguiente forma: tomamos la porción de la curva f(x)=1/x, desde el punto x=1 hasta infinito, y la giramos en torno al eje X. Con esto obtenemos una superficie tridimensional, que es la que se conoce como cuerno de Gabriel. En la imagen podéis ver la representación de la curva y la figura tridimensional que quedar al girar en torno al eje X.
Imaginemos ahora que queremos pintar la superficie externa del cuerno de Gabriel. Sí, pintar, con pintura y brocha. Teniendo en cuenta que la superficie es infinita, no sería descabellado pensar que necesitaríamos pintura infinita para poder conseguir nuestro objetivo. Pues sí, es correcto: necesitaríamos infinita pintura para poder pintar la superficie externa del cuerno de Gabriel.
Supongamos ahora que lo que queremos hacer es rellenar el interior del cuerno con pintura. Como antes, no sería ninguna locura pensar que volveríamos a necesitar pintura infinita para ello, pero en este caso no es así: podríamos rellenar el interior del cuerno de Gabriel con una cantidad finita de pintura.
El tema de la pintura es un intento de acercar a la realidad una cuestión que es meramente matemática. En realidad, lo que estamos haciendo es considerar pintura, digamos, “ideal”, y la cuestión de pintar la superficie del cuerno tendría que ver con el área del mismo, al igual que rellenarlo está relacionado con su volumen. En definitiva, la cuestión es que el cuerno de Gabriel es una superficie tridimensional con área infinita y volumen finito. Y ésa es la característica más curiosa y, en cierto modo, contraria a la intuición que podríamos tener al pensar en ello.
El cálculo de los valores del área y el volumen de esta interesante figura se puede hacer de manera relativamente sencilla mediante integrales, aunque en este caso, por tener un rango de 1 a infinito, necesitaremos integrales impropias. Para calcular el volumen, tendremos que integrar el cuadrado de la función que genera nuestro cuerpo de revolución y multiplicar el resultado por Pi. Y para el área, integramos el producto de la función por la raíz cuadrada de 1 más la derivada de la función al cuadrado, y después multiplicamos el resultado por 2Pi.
En nuestro caso, como tenemos que usar integrales impropias, tendremos que tomar límites después de calcular las integrales. También es interesante destacar que para calcular el área hemos acotado inferiormente la integral correspondiente por otra que se calcula más fácilmente. Aquí tenéis los desarrollos de cada uno de estos cálculos:
Por cierto, es interesante resaltar que la situación contraria a la que se da en esta superficie no se puede presentar. Es decir, no podemos tener una superficie de este tipo que tenga superficie finita y volumen infinito.
El hecho de que el volumen del cuerno de Gabriel sea finito fue descubierto por el matemático italiano Evangelista Torricelli a mediados del siglo XVII, y en su momento se consideró como una paradoja, generando cierta controversia entre los matemáticos y pensadores de la época. Teniendo en cuenta que en ese momento histórico todavía no se había desarrollado el cálculo (es decir, no “había” integrales), ¿cómo pudo hacerlo? Pues con su método de los indivisibles, una extensión del conocido como principio de Cavalieri. En este enlace tenéis información sobre la demostración de Torricelli.
Espero que, a quienes no lo conocíais, os haya resultado interesante la presentación del cuerno de Gabriel. Y también espero que los que ya lo conocíais hayáis desfrutado recordando de nuevo las interesantes características de esta figura. Sea cual sea el grupo al que pertenezcáis, es posible que esta superficie os haya traído a la mente más objetos matemáticos que consideréis procedente mencionar. Si es así, os agradecería que lo hicierais en los comentarios.
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Irracionalidad de PI

Cómo demostrar que π (pi) es irracional



Teorema: \pi es irracional

Demostración
Definimos la siguiente función:
f(x)=\cfrac{x^n(1-x)^n}{n!}
Utilizando el binomio de Newton podemos expresar f(x) así:
>f(x)=\cfrac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k=\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^{n+k}}
Cuando r \prec n se tiene que f^{(r)}(0)=0 (al derivar menos de n veces el término x^n no desaparece del todo) y cuando r > 2n también obtenemos que f^{(r)}(0)=0 (ya que la propia función es la función {0} al derivar más veces que su propio grado). Para calcular el resto de las derivadas en {0} tomamos m=1,2, \ldots ,n-1 y las calculamos para todo x:
f^{(n+m)}(x)=\displaystyle{\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cfrac{(n+k)!}{(k-m)!} (-1)^k x^{k-m}}
Teniendo en cuenta esta expresión vemos fácilmente que f^{(n+m)}(0) es un número entero para m=1,2, \ldots ,n-1.
Por tanto tenemos que f^{(s)}(0) es un número entero \forall s \in \mathbb{N}. Como f(1-x)=f(x) también tenemos que f^{(s)}(1) es un número entero \forall s \in \mathbb{N}.
Después de estos preliminares vamos con la demostración. En realidad vamos a demostrar que \pi^2 es irracional, hecho del que se deduce muy fácilmente que \pi es irracional (¿Por qué?). La demostración comienza suponiendo que\pi^2 es racional, es decir, \pi^2= \textstyle{\frac{a}{b}}, con a,b\in\mathbb{Z^+}, es decir, enteros positivos. Definimos para cualquier entero positivo nla siguiente función:
F_n (x)=b^n [\pi^{2n} f(x)-\pi^{2n-2} f^{\prime\prime}(x)+\pi^{2n-4} f^{(4)} (x) - \ldots + (-1^n) f^{(2n)}(x)]
Al ser f(0)=f(1)=0 y f^{(s)}(0) un número entero \forall s\in\mathbb{N} se tiene que F_n (0) y F_n (1) son enteros (los denominadores que aparecerían al sustituir \pi^2 por su supuesta expresión como fracción se cancelarían con el término b^n del principio).
Realizamos ahora el siguiente cálculo basado en la función F_n:
\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=[F^{\prime\prime}_n (x)+ \pi^2 F_n (x)] sen(\pi x)=b^n \pi^{2n+2} f(x) sen(\pi x)
Sustituyendo \pi^2 por \textstyle{\frac{a}{b}} tenemos:
\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=\pi^2 a^n f(x) sen(\pi x)
Integrando obtenemos lo siguiente (pasamos \pi dividiendo a la derecha):
\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx=\left [ \cfrac{F^\prime_n (x) sen(\pi x)}{\pi}-F_n (x) cos(\pi x) \right ]_0^1=F_n(1)+F_n(0)}
que, como hemos visto antes, es un número entero.
Por otro lado, es sencillo demostrar que para 0 \prec x \prec 1 se tiene que \prec f(x) \prec \textstyle{\frac{1}{n!}}. Multiplicando a ambos lados por \pi a^n obtenemos:
0 \prec \pi a^n f(x) \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}
Multiplicamos por sen(\pi x) y acotamos la parte de la derecha (ya que sen(x) \prec 1, \forall x\in\mathbb{R}):
0 \prec \pi a^n f(x) sen(\pi x) \prec \cfrac{\pi a^n sen(\pi x)}{n!} \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}
Integrando entre {0} y 1 obtenemos:
\displaystyle{0 \prec \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}}
Pero la última fracción es menor que 1 para n suficientemente grande. Por tanto tenemos lo siguiente:
\displaystyle{0 \prec \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx \prec 1}
Pero habíamos visto antes que \displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx} era un número entero. Es decir, hemos llegado a un número entero entre {0} y 1. Esa es la contradicción.
Por tanto \pi^2 es irracional y en consecuencia \pi también lo es.
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