El número pi musicalizado 

El problema de Basilea

El problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:

Este problema fue propuesto por primera vez por el matemático Pietro Mengoli en 1644 y fue popularizado por Jakob Bernoulli en 1689, pero ninguno de los dos lo resolvieron. Otros grandes matemáticos de la época, como Johann Bernoulli, Leibnitz y Wallistampoco pudieron encontrar la solución (aunque este último calculó su valor con 3 decimales). Este hecho le dio al problema aún más importancia. Al final fue el genialLeonhard Euler quien le puso el cascabel al gato, como en muchas otras ocasiones. De hecho este problema se acabó denominando así porque tanto Euler como los Bernoulli residían allí. Veamos cómo lo hizo.

Demostración del problema de Basilea

Sabemos que sin(x) = 0 cuando x = 0, π (Pi), -π (Pi), 2π (2Pi), -2π (-2Pi),…, es decir, en 0 y los múltiplos enteros de π (Pi). Por tanto podemos expresar la función sin(x) como producto de una constante por (x – cada una de las raíces). Queda algo así:

Multiplicamos los dos factores asociados a π (Pi), los dos asociados a 2π (Pi), etc.:

Como para cada n tenemos que x² – nπ² = 0 (x² – nPi² = 0) podemos escribirlos de la siguiente forma:

Dividimos por x:

Ahora, como sin(x) partido por x tiende a 1 cuando x tiende a 0 tenemos que C = 1:

Tenemos una igualdad entre polinomios. Eso implica que los términos de cada uno de los grados deben ser iguales a ambos lados de la igualdad. Quedémonos con los términos de x²:

Multipliquemos por -π² (-Pi²) y dividamos por x²:

Como vemos hemos obtenido el resultado buscado:

En esta demostración Euler asume ciertos resultados como ciertos que demostraría más adelante. Pero la demostración es perfectamente válida. Aquí podéis ver otra demostración de este resultado.

ENSALADAS Y BATALLAS

La demostración del presidente

¿Os imagináis a Mariano Rajoy presentando la demostración de un teorema? ¿O a Zapatero, Aznar o Felipe González? Yo tampoco. Al menos por estos lares no parece que los máximos mandatarios tengan “buenas relaciones” con las matemáticas. Pero no es así en todos sitios. En Estados Unidos hay un caso que por conocido no deja de ser interesante. Nos referimos a James Garfield y su demostración del teorema de Pitagoras.

James Abram Garfield (1831-1881) fue el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Fue elegido presidente en marzo de 1881, pero en septiembre del mismo año falleció a causa de las heridas provocadas por unos disparos que había recibido un par de meses antes.

Garfield tenía una formación académica bastante completa, además de ser matemático aficionado. A tanto llegó su afición por las matemáticas que encontró una bella, a la par que sencilla, demostración del teorema de Pitagoras, que llegó a ser publicada en ell New England Journal of Education, y que vamos a comentar en lo que sigue.

Partimos de un triángulo rectángulo con catetos de longitud  e hipotenusa de longitud , como el que puede verse en la figura siguiente:

Tomamos una copia de este triángulo y lo colocamos con el vértice que en la imagen aparece arriba coincidiendo con el vértice que en la imagen aparece abajo a la derecha de forma que los catetos inferiores de los dos triángulos queden alineados, como se ve a continuación

Es claro entonces que el ángulo que forman las hipotenusas de los dos triángulos es un ángulo recto. Unimos ahora los dos vértices “superiores” de los dos triángulos, obteniendo así un trapecio:

Ahora vamos a calcular el área de dicho trapecio de dos formas: directamente con la fórmula habitual y como suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos en los que está dividido:

1. Con la fórmula habitual
   El área de un trapecio es igual a la semisuma de las bases multiplicada por la altura. En este caso las bases miden  y , y la altura mide . Por tanto, el área  del trapecio es:
   
2. Como suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos
   El trapecio puede verse como la unión de tres triángulos rectángulos: el inicial dos veces y otro (el de fondo blanco), también rectángulo, cuyos catetos son ambos  y cuya hipotenusa es el último segmento que habíamos añadido. El área  del trapecio queda entonces así:
   
   Ahora igualamos los dos resultados que hemos obtenido para el área y operamos:
   
   Y restando  en ambos términos obtenemos lo buscado, el teorema de Pitagoras:
   
   Como decíamos antes, sencilla y bella demostración de uno de los teoremas más conocidos de las matemáticas, que además pasa por ser, posiblemente, el teorema del que se conocen más demostraciones distintas (cerca de 400). En Cut-the-knot podéis ver 99 de ellas. La de Garfield está en el quinto lugar.

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