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domingo, 31 de mayo de 2015
sábado, 30 de mayo de 2015
1915. El universo relativista de Einstein
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- En 1915, Albert Einstein enunció su Teoría de la Relatividad General, una nueva teoría de la Gravitación que vino a sustituir a la de Newton aportando una visión completamente revolucionaria del Universo. En la visión de Einstein, la materia, el espacio y el tiempo son tres elementos interconectados entre sí: la gravedad puede ser interpretada como una curvatura del espacio. En el espacio-tiempo la luz se mueve a velocidad constante describiendo trayectorias curvas según es desviada por la presencia de cuerpos materiales.
La Teoría de la Relatividad resolvió elegantemente los problemas de la física clásica y realizó otras sorprendentes predicciones (como la curvatura de la luz en un campo gravitatorio) que fueron comprobadas experimentalmente de manera espectacular. Gracias a esta nueva teoría,el Universo pasó a describirse como un todo mediante una serie de ecuaciones que describen la íntima imbricación del espacio, el tiempo y la materia.
El fin de la Física
A finales del siglo XIX el éxito de la Física era tan grande que ésta parecía una ciencia prácticamente terminada. A la teoría de la gravitación universal de Newton se había sumado la mecánica racional desarrollada por Lagrange y Hamilton y las concisas ecuaciones elaboradas por Maxwell para unificar el electromagnetismo. Toda la Física parecía perfectamente expresada en términos matemáticos y era sumamente fiable en sus predicciones.
Tan sólo quedaban dos pequeñas fisuras en este gran edificio y parecía entonces increíble que, por estas imperfecciones, la construcción llegase a tambalearse desde sus mismos cimientos. Las deficiencias de la Física de principios de siglo consistían en su incapacidad para describir el movimiento de Mercurio y las propiedades de la velocidad de la luz:
1.- El perihelio de la órbita de Mercurio (el punto de mayor acercamiento del planeta al Sol) avanzaba en longitud más rápidamente de lo esperado. Tan sólo se trataba de un grado cada cien siglos, un efecto muy pequeño que Le Verrier en 1859 había tratado de explicar mediante la existencia de un planeta más cercano al Sol ('Vulcano'). Pero a finales del XIX todas las búsquedas de tal planeta habían fracasado y la existencia de Vulcano había sido descartada completamente. El comportamiento de Mercurio permanecía pues irritantemente inexplicado.
2.- La velocidad de la luz parecía comportarse con terquedad. Utilizando las ecuaciones de Maxwell, Lorentz había deducido que una carga en movimiento debe radiar energía en forma de ondas y la propagación de esas ondas requería un medio material para su sustentación: el 'éter', un tenue fluido indetectable que debía llenar todo el espacio en reposo absoluto. En 1880, Michelson y Morley, en Ohio, habían realizado un ingenioso experimento de interferometría para medir la velocidad de la luz respecto del éter y respecto de la Tierra en movimiento. El sorprendente resultado fue que la luz parecía moverse a la misma velocidad respecto de estos dos sistemas de referencia. El experimento también ponía en entredicho la mera existencia del éter.
A principios del XX ya había habido muchos físicos trabajando sobre estos problemas. Lorentz y Riemann habían especulado con espacio-tiempos curvados que no respetaban la geometría de Euclides. En 1887, el irlandés G. F. Fitzgerald postuló que el movimiento produce una contracción en la longitud de los objetos. En 1898, el francés J. H. Poincaré ya sospechaba que el tiempo debe transcurrir más despacio según aumenta la velocidad de quien lo mide, etc. Pues bien, utilizando la expresión de Newton, Albert Einstein llegó sobre los hombros de todos estos 'gigantes', lo que le permitió ver más allá para concebir un nuevo y sorprendente Universo en el que no quedaba lugar para aquellas incómodas 'fisuras'.
Einstein, el genio
Albert Einstein nació en Ulm (Alemania) en 1879 en una familia judía. Tras residir en Munich y en Pavía (Italia), su familia lo envió al Instituto Politécnico de Zurich (Suiza) donde acabaría contrayendo matrimonio con su compañera de clase Mileva Maric en 1903.
Einstein ejerció como profesor temporal de física y matemáticas en varias localidades antes de obtenerun empleo fijo en la oficina de patentes de Berna en 1904, puesto que le permitió continuar con sus trabajos de física teórica. En 1908 pasó a la Universidad de Berna, después enseñó en Zurich y en la Universidad alemana de Praga para regresar de nuevo a Zurich en 1912, más concretamente al mismo Politécnico en el que había estudiado. En 1913 se estableció en Berlín y allí permanecería durante casi dos décadas. Se divorció de Mileva, en 1919, para casarse poco después con su prima Elsa.
Durante sus años en Berlín, Einstein alcanzó gran popularidad y sus teorías se debatían incluso en los periódicos. Pero el ascenso del nazismo obligó a Einstein a dejar Alemania en 1932. Establecido en Estados Unidos, continuó enfrentándose enérgicamente a Hitler y fue profesor del Instituto de Estudios Superiores de Princeton (Nueva Jersey). Se retiró de la vida pública 1945, y murió en el propio Princeton en 1955.
Albert Einstein es uno de los mayores genios de todos los tiempos. Similar en envergadura al del gran Newton, el legado de Einstein se extiende por muy diferentes campos de la Física. Tan sólo en un año (1905, su Annus mirabilis) Einstein revolucionó la Física con tres aportaciones fundamentales: (1) la Teoría de la Relatividad Restringida, (2) la explicación del movimiento browniano (lo que confirmó la teoría atómica y permitió una primera estimación del tamaño del átomo) y (3) la explicación del efecto fotoeléctrico que confirmó la teoría cuántica formulada por el alemán Max Planck en 1901.
El universo relativista
En 1915 Einstein enunció la Teoría de la Relatividad General, una nueva teoría de la Gravitación que vino a sustituir a la de Newton aportandouna visión completamente revolucionaria del Universo. En la visión de Einstein, la materia, el espacio y el tiempo son tres elementos íntimamente interconectados entre sí: la gravedad puede ser interpretada como una curvatura del espacio. En el espacio-tiempo la luz se mueve a velocidad constante describiendo trayectorias curvas según es desviada por la presencia de cuerpos materiales.
La Teoría de la Relatividad explicaba cuantitativamente el desplazamiento del perihelio de Mercurio como un efecto inmediato de la gravedad del Sol. La Relatividad también eliminaba la segunda fisura de la Física clásica postulando la independencia de la velocidad de la luz respecto de la velocidad del observador, y ya no se necesitaba la existencia del éter, por lo que explicaba de manera natural el resultado del experimento del Michelson-Morley.
Pero la Relatividad realizaba otras sorprendentes predicciones. Por ejemplo, la curvatura de la luz en un campo gravitatorio. ¿Cómo comprobar esto? Sir Arthur Eddington propuso que la primera ocasión la brindaría el eclipse total de Sol del 29 de marzo de 1919. Durante un eclipse de Sol es posible observar estrellas brillantes en el entorno de nuestra estrella. Si el Sol es capaz de desviar la trayectoria de los rayos de luz, algunas de estas estrellas brillantes (cerca del Sol eclipsado) deberían verse en posiciones aparentes diferentes respecto de sus posiciones habituales (medidas cuando el Sol se encuentre en una posición distante del firmamento).
La Royal Society organizó dos expediciones a la zona de totalidad del eclipse, una al norte de Brasil y otra a la Isla del Príncipe (en el golfo de Guinea), para medir las posiciones estelares en la vecindad solar. Eddington comprobó así, de manera espectacular y ante una gran expectación a nivel mundial, que las pequeñísimas desviaciones de los rayos de luz predichos por la Relatividad (de tan sólo una diezmillonésima de grado) eran absolutamente reales.
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Gracias a la Teoría de la Relatividad General de Einstein, el Universo pasa a describirse en conjunto mediante una serie de ecuaciones que describen la interconexión del espacio, el tiempo y la materia. Esta descripción integral del Universo resultaría tener una influencia decisiva en todas las teorías de la cosmología moderna que intentanexplicar el origen y evolución del Universo tratándolo como un ente único y completo.
Curiosidades
* Se cuentan infinidad de anécdotas de Einstein. Hay una muy ilustrativa sobre la dificultad de divulgar la ciencia. Un día un cándido periodista le pregunta. "Sr. Einstein ¿me puede explicar la Teoría de la Relatividad?", y Einstein le responde "¿Me puede Vd. explicar cómo se fríe un huevo?". El periodista no duda en responder "Sí claro, sí que puedo". A lo que Einstein replica: "Bueno pues adelante, explíquemelo, pero imaginando que yo no sé lo que es un huevo, ni una sartén, ni el aceite, ni el fuego..."
* Einstein recibió el Premio Nobel en 1921 por su interpretación del efecto fotoeléctrico que confirmó la teoría cuántica de Planck. Paradójicamente, el propio Einstein pasaría su vida expresando dudas sobre la validez de la mecánica cuántica, una postura que le llevaría a pronunciar su famosa frase "Dios no juega a los dados".
* Tras los éxitos logrados con la Relatividad, Einstein se empeñó en conseguir una Teoría de la Unificación en la que todas las fuerzas de la Naturaleza quedasen integradas. Esta ambición no fue alcanzada ni por Einstein ni por nadie y actualmente se duda de si tal teoría es realmente viable. Pero durante años Einstein fue enunciando diferentes versiones de esa teoría, lo que hizo exclamar, un tanto irónicamente, al gran físico Pauli "es psicológicamente interesante que cada vez, durante algún tiempo, la teoría actual es considerada por su autor como la 'solución definitiva'..."
* La ralentización del tiempo en el seno de un campo gravitatorio era otra de las espectaculares predicciones de la Relatividad General. En efecto, las distorsiones espacio-temporales debidas a la presencia de materia deben ocasionar un desplazamiento gravitatorio hacia el rojo (disminución en la frecuencia de los fotones) conocido a veces como efecto Einstein.Este efecto fue comprobado experimentalmente en 1960 por Pound y Rebka mediante la observación del efecto Mössbauer, descubierto un año antes.
Rafael Bachiller es director del Observatorio Astronómico
Nacional (Instituto Geográfico Nacional).
viernes, 29 de mayo de 2015
jueves, 28 de mayo de 2015
Rameu ( Dardanus Chaconne )
Jean-Philippe Rameau, Dardanus Chaconne
La chacona es una danza en tres tiempos de origen español o novohispano que, a través de España, se difundió por Europa durante el siglo XVII. La chacona desarrollaba un tema melódico al que se aplicaban variaciones en el bajo (basso ostinato)
miércoles, 27 de mayo de 2015
Wagner ( Preludio de Tristán e Isolda )
RICHARD WAGNER Prelude and Liebstod from Tristan und Isolde LEONARD BERNSTEIN
Bach ( curiosidad )
Realmente original esta interpretación de la Cantata BWV 147 “Herz und mund un tat un leven” de Johann Sebastian Bach
martes, 26 de mayo de 2015
Mahler ( Lieder Eines Fahrenden Gesellen, canciones de un camarada errante )
Mahler Lieder Eines Fahrenden Gesellen Hampson, Jansons, 2007
lunes, 25 de mayo de 2015
John Nash
Adiós a la 'mente maravillosa' de John Nash
Un accidente de taxi ha provocado la muerte de John Nash, uno de los grandes matemáticos del siglo XX, experto en ecuaciones en derivadas parciales y teoría de juegos, por lo que obtuvo el Premio Nobel de Economía. Su vida, marcada por una grave esquizofrenia, inspiró la famosa película Una mente maravillosa
Este domingo, a las cuatro de la tarde en Nueva Jersey (EE UU), John Nash regresaba junto a su esposa de recoger la medalla Abel en Noruega. En el trayecto de vuelta del aeropuerto, el conductor del taxi en el que viajaban intentó efectuar un adelantamiento con tan mala suerte que perdió el control del vehículo y golpeó el guardarraíl y a otro coche.
Según la versión policial, ni el matemático ni su mujer llevaban puesto el cinturón de seguridad, por lo que salieron despedidos. De esta forma tan repentina fallecía a los 86 años una de las mejores mentes matemáticas del siglo XX.
"John Nash escribió sus trabajos sobre juegos no cooperativos a principios de los años 50, poco antes de cumplir los 30 años, en plena efervescencia creativa", destaca el director del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM), Manuel de León.
En aquellos trabajos postuló el conocido como 'equilibrio de Nash'. Este concepto sirve para resolver juegos de dos o más jugadores, en el que cada uno adopta la mejor estrategia para su interés particular y conoce las estrategias de los demás. Ante estas situaciones, Nash explicó que cada participante adoptaba la mejor estrategia para cada uno de ellos individualmente, pero teniendo en cuenta que los demás optarán también por preservar su interés particular.
Este equilibrio, que desarrolló en su tesis doctoral, aparece en la película Una mente maravillosa aplicado a la seducción de un grupo de jóvenes universitarias. Pero además de para ligar, sirve para resolver el conocido 'dilema del prisionero' o plantear conceptos económicos como la 'tragedia de los comunes', sobre la contradicción entre los intereses de los individuos y la existencia de bienes comunes o públicos. Gracias a esta contribución, Nash fue galardonado con el Premio Nobel de Economía en 1994.
Una Mente Maravillosa - "Adam Smith se equivocaba"
Manuel de León también subraya “su trabajo en las aplicaciones de las ecuaciones en derivadas parciales a problemas geométricos”. Sus hallazgos, aplicados al análisis de objetos geométricos abstractos, han tenido gran repercusión en ámbitos como la química, la física cuántica, la biología de sistemas o las finanzas.
Gracias a estas teorías ha obtenido el Premio Abel en 2015 y, pese a que no fue reconocido con el Premio Nobel, algunos matemáticos aseguran que es una contribución más valiosa que sus aportaciones a la teoría de juegos.
Una 'mente maravillosa'
“En matemáticas ocurre con cierta frecuencia que el período de juventud es el más prolífico en ideas, sobre todo cuando se junta una mente genial como la de Nash con un ambiente tan especial como el de Princeton en los años cincuenta”, explica de León sobre los éxitos precoces del joven Nash.
Y es que sus principales contribuciones se produjeron antes de los 29 años, cuando se le disgnosticó una esquizofrenia. Sufría alucinaciones que le hacían creer que era perseguido por agentes comunistas infiltrados y tuvo que ser hospitalizado varias veces en diversos centros psiquiátricos.
Durante casi 30 años Nash estuvo desaparecido para el mundo académico. Buena parte de los que estudiaban sus teorías pensaban que estaba muerto y los estudiantes de Princeton lo conocían como un individuo de aspecto extravagante que vagaba por los pasillos de la universidad.
Gracias al apoyo de su esposa, la enfermedad empezó a remitir en la década de los 80, gracias a lo cual el comité del Nobel se decidió a concederle el galardón en 1994. Cuatro años más tarde, la escritora Sylvia Nasar relató su vida en la biografía Una mente maravillosa.
Este mismo título mantuvo la película de 2001, dirigida por Ron Howard y en la que Russell Crowe encarnó a Nash. El éxito de la cinta –ganadora de 4 Oscars– permitió al público conocer una vida particular y extraordinaria, que este domingo llegó a su fin por culpa de un aciago accidente de tráfico.
Bach ( Concierto para violin ,BWV 1042)
JUAN SEBASTIAN BACH.- Concierto Nº 2 en mi mayor para violín y Orquesta BWV 1042
domingo, 24 de mayo de 2015
Números Primos
Números primos - Conceptos avanzados
Números primos
Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, etc.
Primos gemelos
Un par de números primos que se diferencian en 2 (dos números impares consecutivos que son primos).
Ejemplos: (3,5), (5,7), (11,13), ...
No se sabe si el conjunto de primos gemelos termina o no.
Números coprimos o primos entre sí
Dos números que no tienen ningún factor en común aparte de 1 o -1. (O bien, su máximo factor común es 1 o -1)
Ejemplo: 15 y 28 son coprimos, porque los factores de 15 (1,3,5,15), y los de 28 (1,2,4,7,14,28) no tienen nada en común (excepto el 1).
Primos de Mersenne
Los números primos de la forma 2n-1 donde n es también primo.
3, 7, 31, 127 etc. son primos de Mersenne.
No todos los números de esa forma son primos. Por ejemplo, 2047 (i.e. 211-1) no es un número primo. Es divisible por 23 y 89.
 | Los primos de Mersenne se llaman así por el monje, teólogo, filósofo y numerista francés Marin Mersenne (1588-1648 AD). |
Números perfectos
Cualquier entero positivo que es igual a la suma de sus factores propios (los factores que no son iguales al número).
Ejemplo: 6 (factores propios: 1,2,3) es un número perfecto porque 1+2+3=6.
Ejemplo: 28 (factores propios: 1,2,4,7,14) también es perfecto, porque 1+2+4+7+14=28.
Euclides demostró que 2n-1(2n-1) es un número perfecto par cuando 2n-1 es un primo de Mersenne. Esos números se llaman números de Euclides y Euler demostró que todos los números perfectos pares son de esa forma para algún valor primo n. Por ejemplo, 6, 28, 496 son perfectos y corresponden a valores 3, 7, y 31 para el 2n-1 de la fórmula.
Esta tabla te muestra los resultados para n=1 a 13 que incluyen los primeros cinco números perfectos:
| n | 2n-1 | 2n-1(2n-1) | ¿Perfecto? | Nota |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | No | n no es primo |
| 2 | 3 | 6 | Sí | n es primo, 2n-1 es primo |
| 3 | 7 | 28 | Sí | n es primo, 2n-1 es primo |
| 4 | 15 | 120 | No | n no es primo |
| 5 | 31 | 496 | Sí | n es primo, 2n-1 es primo |
| 6 | 63 | 2016 | No | n no es primo |
| 7 | 127 | 8128 | Sí | n es primo, 2n-1 es primo |
| 8 to 10 | ... | ... | No | no primos |
| 11 | 2047 | 2096128 | No | n es primo, pero 2n-1 no es primo |
| 12 | 4095 | 8386560 | No | n no es primo |
| 13 | 8191 | 33550336 | Sí | n es primo, 2n-1 es primo |
No se han resuelto todavía los problemas de si hay infinitos números perfectos pares o si hay algún número perfecto impar.
Números abundantes
Un entero positivo que es menor que la suma de sus factores propios (los factores que no son iguales al número).
Ejemplo: 12 es abundante porque sus factores propios son 1, 2, 3, 4, y 6 cuya suma es 16.
Números deficientes
Un entero positivo que es mayor que la suma de sus factores propios (los factores que no son iguales al número).
Todos los números primos son deficientes, porque sólo tienen un factor propio: 1.
Todos los números de la forma 2n también son deficientes.
Ejemplo: 32 (=25) es deficiente porque la suma de sus factores propios es 31 (1+2+4+8+16).
Además, los números de la forma pn son siempre deficientes cuando p es un número primo y n es un entero positivo.
Ejemplo: 35=243. Los factores 243 que no son él mismo son 81, 27, 3 y 1.
La suma de esos factores es 112, que es menos que 243.
También, 56=15625, sus factores propios son 1,5,25,125,625, y 3125. La suma de estos es 3906 que es menor que 15625.
La suma de esos factores es 112, que es menos que 243.
También, 56=15625, sus factores propios son 1,5,25,125,625, y 3125. La suma de estos es 3906 que es menor que 15625.
Números amigos
Un par de enteros, que son la suma de los factores propios del otro número.
Ejemplo: 220 y 284 son números amigos porque:
- Los factores de 220 (que no son él mismo) son 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110.
Suma de esos factores = 284 - Los factores de 284 (que no son él mismo) son 1,2,4,71,142.
Suma de esos factores = 220.
La prueba de Euclides de que hay infinitos números primos
La prueba consiste en mostrar que si suponemos que hay un número primo máximo, llegamos a una contradicción.
Podemos poner los primos en orden ascendente, de manera que P1 = 2, P2 = 3, P3 = 5 y así sucesivamente. Si suponemos que hay sólo n primos, el mayor primo se llamará Pn. Ahora formamos un número Q multiplicando juntos todos esos primos y sumando 1, así
Q = (P1 × P2 × P3 × P4... × Pn) + 1
Ahora vemos que si dividimos Q entre cualquiera de nuestros n primos siempre hay un resto de 1, así que Q no es divisible por ningún primo.
Pero sabemos que todos los enteros positivos son primos o se pueden descomponer como producto de primos. Esto quiere decir que Q es primo o Q es divisible por primos mayores que Pn.
Nuestra suposición de que Pn es el mayor primo nos ha llevado a una contradicción, esto quiere decir que la suposición es falsa, así que no hay un primo máximo.
La conjetura de Goldbach
La conjetura de que todos los números pares se pueden escribir como suma de dos primos impares.
| La conjetura de Goldbach se llama así por el analista y numerista prusianoChristian Goldbach (1690-1764 AD), quien fue profesor de matemáticas e historiador de la Academia Imperial rusa. También fue el tutor de Pedro el Grande, y miembro del ministerio de exteriores del Zar. |
Goldbach también conjeturó que todos los números impares son suma de tres primos: el teorema de Vinogradov muestra que esto es verdad excepto quizás para un número finito de números impares.
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