Los números sublimes y su relación con unos primos muy conocidos
Números primos, compuestos, cuadrados, deficientes, abundantes, perfectos…Son muchísimas las formas de llamar a ciertos tipos de números según las propiedades que cumplen. Algunas son muy conocidas y ciertamente intuitivas, como las que acabamos de nombrar (en tipos de números podéis ver muchas más), y otras no son tan populares y, por qué no decirlo, tienen una descripción más bien extraña (como los números de Smith o los números de Lychrel). Éste es el caso del tipo de números que traemos hoy, los números sublimes.Bueno, ¿y qué características debe tener un número para elevarlo a la categoría de número sublime? Pues un número sublime es un número entero positivo que tiene un número perfecto de divisores (incluyéndolo a él mismo) y tal que la suma de sus divisores (incluyéndolo a él mismo) es también un número perfecto. Recordando que un número perfecto era un número entero positivo tal que la suma de sus divisores (sin incluir al número) es igual al propio número, puede entenderse el porqué de la denominación de número sublime al número entero positivo que sea capaz de ser tan perfecto.
Bien, y ahora la pregunta obligada es la siguiente: ¿hay números sublimes? Claro que sí. De hecho hay uno bastante pequeño y manejable: el 12. Veámoslo:
- Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Es decir, tiene 6 dividores, y 6 es un número perfecto.
- Si sumamos estos divisores obtenemos
1+2+3+4+6+12=28 y 28 también es un número perfecto.
…y ya no se conocen más (A081357 en la OEIS). Vaya, pues menuda gracia, dos números sublimes nada más. Bueno, quizás tengan alguna “gracia” todavía. Veamos cómo se puede descomponer
Pues si, efectivamente. Asumiendo que no existen números perfectos impares (hecho que, siendo posible, no está demostrado), se puede demostrar que existe un número sublime par para cada primo de Mersenne
Los únicos valores conocidos de
- Con
obtenemos
, ambos primos de Mersenne. Ahora,
(el exponente de Mersenne correspondiente a
), de donde
y
y es evidente que 2 se puede escribir como suma de 1 exponente de un primo de Mersenne, el propio 2. Por tanto aquí tenemos un número sublime, que concretamente es
:
- Con
obtenemos
, ambos también primos de Mersenne. En este caso
, de donde
y
. Como 6 no se puede expresar como suma de 2 exponentes de primos de Mersenne distintos, en este caso no obtenemos ningún número sublime.
- Con
obtenemos
, ambos primos de Mersenne. Aquí
, por lo que
y
. Pero 30 no puede escribirse como suma de 4 exponentes de primos de Mersenne distintos, por lo que de aquí tampoco sale ningún número sublime.
- Y con
, obtenemos
, de donde
y
. Y ahora sí se cumple la condición que fallaba en los dos casos anteriores, ya que 126 sí se puede escribir como suma de 6 exponentes de primos de Mersenne distintos:
:
Para que existan un número sublime impar es necesario encontrar un primo imparEn el caso de que pudiéramos encontrar estos números primos, tendríamos que expresary dos primos de Mersenne
y
tal que
Las curiosidades numéricas y las relaciones entre distintos tipos de números en ocasiones parecen interminables…